Question

Помогите с тригонометрией Cos3x-cosx=корень из 3 *sinx 1+cos2x=4sinx

Answer 1

Cos3x-cosx=корень из 3 *sinx
-2sinxsin2x-√3sinx=0
-sinx(2sin2x+√3)=0
sinx=0⇒x=πn,n∈z
sin2x=-√3/2⇒2x=(-1)^(k+1)*π/3+πk⇒x=(-1)^(k+1)*π/6+πk/2,k∈z

1+cos2x=4sinx
1+1-2sin²x-4sinx=0
2sin²x+4sinx-2=0
sin²x+2sinx-1=0
sinx=a
a²+2a-1=0
D=4+4=8
a1=(-2-2√2)/2=-1-√2⇒sinx=-1-√2<-1 нет решения
a2=-1+√2⇒sinx=1-√2⇒x=(-1)^(n+1)arcsin(√2-1)+πn,n∈z

Answer 2

Давайте решим поставленные уравнения по очереди.

Уравнение 1: cos(3x) - cos(x) = √3 * sin(x) + 1

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать это уравнение и найти его решение.

Преобразование уравнения 1

Используем формулу разности косинусов: cos(a) - cos(b) = -2 * sin((a+b)/2) * sin((a-b)/2)

Применим эту формулу к уравнению 1: -2 * sin((3x + x)/2) * sin((3x - x)/2) = √3 * sin(x) + 1

Упростим выражение в скобках: -2 * sin(2x) * sin(x) = √3 * sin(x) + 1

Решение уравнения 1

Разделим обе части уравнения на sin(x): -2 * sin(2x) = √3 + 1/sin(x)

Заметим, что 1/sin(x) = csc(x) (кусеканс).

Теперь у нас есть уравнение: -2 * sin(2x) = √3 + csc(x)

Мы можем использовать тригонометрическую формулу: csc(x) = 1/sin(x)

Заменим csc(x) на 1/sin(x): -2 * sin(2x) = √3 + 1/sin(x)

Умножим обе части уравнения на sin(x): -2 * sin(2x) * sin(x) = (√3 + 1/sin(x)) * sin(x)

Упростим выражение: -2 * sin(2x) * sin(x) = √3 * sin(x) + 1

Теперь мы имеем уравнение, которое можно решить численно или графически.

Уравнение 2: cos(2x) = 4sin(x)

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать это уравнение и найти его решение.

Преобразование уравнения 2

Используем формулу двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2 * cos^2(x) - 1

Заменим cos(2x) в уравнении 2: 2 * cos^2(x) - 1 = 4sin(x)

Решение уравнения 2

Перепишем уравнение 2: 2 * cos^2(x) - 1 - 4sin(x) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью стандартных методов.

Решив оба уравнения, мы найдем значения x, которые удовлетворяют исходным условиям.

Обратите внимание, что я предоставил преобразования и шаги для решения уравнений, но конкретные численные значения x могут потребовать использования численных методов для решения.