Question

Привести уравнение кривой 36x^2 - 16y^2 -36x + 32y -151=0 к каноническому виду. Сделать чертёж, определить координаты вершин и фокусоф

Answer 1

Первое что надо сделать - выделить полный квадрат. Тут это достаточно очевидно.
$(6x-3)^2 = 36x^2 - 36x + 9$ и $(4y-4)^2 = 16x^2 - 32y+16$
Видим, что Y надо брать с минусом. Так же свободный член должен быть равен $-151$. Поэтому
$(6x-3)^2 - (4y-4)^2 - 144 = 0$
Смотрим и думаем, на что же это может быть похоже из уравнений второго порядка. 
Легко увидеть, что наше уравнение похоже на гиперболу 
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
Чтобы привести к такому виду, требуется сделать замену. 
$6x-3 = \tilde{x}$ и $4y - 4 = \tilde{y}$
Получим
$\frac{\tilde{x}^2}{12^2} - \frac{\tilde{y}^2}{12^2} = 1$
Точки вершины - это $(a,0)$ и $(-a, 0)$
Точки $F_1 (-c,0)$ и $F_2 (c,0)$, где $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ называются фокусами. 
в нашем случае, $c= 2 \sqrt{12}$
С графиком думаю вы сможете сами разобраться, т.к. как тут рисовать графики я не знаю, но все данные есть, просто перенести на бумагу

Answer 2

Для приведения уравнения кривой каноническому виду, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перенести свободный член на правую сторону уравнения: 36x^2 - 16y^2 - 36x + 32y = 151

2. Сгруппировать переменные x и y в отдельные члены: (36x^2 - 36x) - (16y^2 - 32y) = 151

3. Вынести общий множитель из каждой группы: 36(x^2 - x) - 16(y^2 - 2y) = 151

4. Дополнить квадратные выражения внутри скобок, добавив и вычтя половину квадратов коэффициентов при x и y: 36(x^2 - x + 1/4) - 16(y^2 - 2y + 1) = 151 + 36 * 1/4 - 16 * 1

5. Упростить выражения внутри скобок: 36(x - 1/2)^2 - 16(y - 1)^2 = 151 + 9 - 16

6. Упростить правую сторону уравнения: 36(x - 1/2)^2 - 16(y - 1)^2 = 144

Таким образом, уравнение кривой приведено к каноническому виду: 36(x - 1/2)^2 - 16(y - 1)^2 = 144

Теперь давайте построим чертеж и определим координаты вершин и фокусов.

Чертеж:

Чтобы построить чертеж данной кривой, нам понадобятся координатные оси и некоторые точки на кривой. Давайте начнем с определения координат вершин и фокусов.

Координаты вершин:

Для определения координат вершин, необходимо выделить квадратные выражения в уравнении и приравнять их к нулю. Затем решим полученные уравнения для x и y.

1. Для x: x - 1/2 = 0 x = 1/2

2. Для y: y - 1 = 0 y = 1

Таким образом, координаты вершин кривой равны (1/2, 1).

Координаты фокусов:

Для определения координат фокусов, нам понадобится знание ориентации кривой. В данном случае, поскольку коэффициент при x^2 больше коэффициента при y^2, кривая будет ориентирована вдоль оси x.

1. Для x: a^2 = 144 a = sqrt(144) a = 12

2. Для y: b^2 = 144 b = sqrt(144) b = 12

Таким образом, координаты фокусов кривой равны (1/2 - 12, 1) и (1/2 + 12, 1), то есть (-23/2, 1) и (25/2, 1).

Заключение:

Уравнение кривой 36x^2 - 16y^2 - 36x + 32y - 151 = 0 было приведено к каноническому виду 36(x - 1/2)^2 - 16(y - 1)^2 = 144. Координаты вершин кривой равны (1/2, 1), а координаты фокусов равны (-23/2, 1) и (25/2, 1).