Question

В трапеции ABCD через точку E середины боковой стороны AB проведена прямая параллельная стороне CD, пересекающая большое основание в точке G. Найти основания трапеций, если AG=5 дм, GD=2.5 м

Answer 1

Нижнее основание AD находится из построения сложением длин
AG=0,5 м и GD=2,5 м, AD=0,5+2,5=3,0 м. Верхнее основание BC
находится через определение средней линии L=(a+b)/2, a=BC, b=AD=3,0 - основания трапеции. Средняя линия проходит через точку Е и по построению L=GD=2,5. Тогда а=2L-b=2,0. Основания трапеции равны 2 и 3 м. Изящная красивая эстетичная задача. Еще бы такую!

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства параллелограмма и применить теорему Талеса.

Свойства параллелограмма

- Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. - Противоположные углы параллелограмма равны. - Диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в точке, которая является их серединой.

Теорема Талеса

Если две прямые, параллельные одной стороне треугольника, пересекают две другие стороны, то они делят эти стороны пропорционально.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Обозначим точку пересечения прямой, проходящей через точку E и параллельной стороне CD, с большим основанием ABCD как точку G. 2. Обозначим точку пересечения прямой AG с большим основанием ABCD как точку F. 3. Обозначим точку пересечения прямой GD с малым основанием ABCD как точку H.

Шаг 1: Найдем точку F.

Так как AG = 5 дм, то точка F находится на расстоянии 5 дм от точки A вдоль большого основания ABCD.

Шаг 2: Найдем точку H.

Так как GD = 2.5 м, то точка H находится на расстоянии 2.5 м от точки D вдоль малого основания ABCD.

Шаг 3: Найдем точку G.

Так как точка G является точкой пересечения прямых, проведенных через точки E и F, то точка G является серединой отрезка EF.

Теперь мы можем применить теорему Талеса для нахождения оснований трапеции ABCD.

Применение теоремы Талеса:

Применим теорему Талеса к треугольнику AGB, где точка F делит большое основание ABCD в отношении AF / FB.

Используя теорему Талеса, мы можем записать следующее соотношение:

AG / GF = AB / BF

Подставим известные значения:

5 дм / GF = AB / BF

Так как точка G является серединой отрезка EF, то GF = FG.

Таким образом, мы можем записать:

5 дм / FG = AB / BF

Применим ту же теорему Талеса к треугольнику DGH, где точка H делит малое основание ABCD в отношении DH / HG.

Используя теорему Талеса, мы можем записать следующее соотношение:

DG / GH = CD / DH

Подставим известные значения:

2.5 м / GH = CD / DH

Так как точка G является серединой отрезка EF, то GH = HG.

Таким образом, мы можем записать:

2.5 м / HG = CD / DH

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (AB и DH). Мы можем решить эти уравнения методом подстановки или методом уравнений.

Решение уравнений:

1. Перепишем первое уравнение:

5 дм / FG = AB / BF

2. Перепишем второе уравнение:

2.5 м / GH = CD / DH

3. Мы знаем, что FG = GH, поэтому можем заменить FG на GH в первом уравнении:

5 дм / GH = AB / BF

4. Умножим оба уравнения на BF и DH соответственно:

5 дм * BF / GH = AB

2.5 м * DH / GH = CD

5. Найдем GH, используя теорему Талеса для треугольника AGB:

AG / GF = AB / BF

Подставим известные значения:

5 дм / GH = AB / BF

Перепишем в виде:

GH = (5 дм * BF) / AB

6. Подставим найденное значение GH во второе уравнение:

2.5 м * DH / ((5 дм * BF) / AB) = CD

7. Найдем AB, используя теорему Талеса для треугольника DGH:

DG / GH = CD / DH

Подставим известные значения:

2.5 м / GH = CD / DH

Перепишем в виде:

GH = (2.5 м * DH) / CD

8. Подставим найденное значение GH в первое уравнение:

5 дм / ((2.5 м * DH) / CD) = AB / BF

9. Решим полученные уравнения для AB и DH.

После решения уравнений, мы найдем значения оснований трапеции ABCD.

Помните, что для полного решения задачи необходимо также рассмотреть значения точек F и H, которые могут быть найдены с использованием найденных значений AB и DH.