Question

В правильной треугольной пирамиде апофема, равная 6 см, составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Из прямоугольного треугольника SOK: ∠OSK=90°-∠SKO=90°-60° = 30°
Против 30° противолежащий катет в 2 раза меньше за гипотенузу, т.е. $OK= \frac{SK}{2}=3\, _C_M$

OK - радиус вписанной окружности ΔАВС.
ΔАВС - правильный, значит AB=2r√3 = 2 · 3 · √3 = 6√3 см.

$S_{з ABC}= \frac{AB^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{(6\sqrt{3})^2\cdot\sqrt{3}}{4} =27\sqrt{3}\,\, _C_M_^2$

Площадь одной грани из ΔSAC: $S_{з SAC}= \frac{AC\cdot SK}{2} = \frac{6\sqrt{3}\cdot6}{2} =18\sqrt{3}\,\, _C_M_^2$

Площадь боковой поверхности: Sбок = $3\cdot S_{з SAC}=3\cdot18\sqrt{3}=54\sqrt{3}\,\, _C_M_^2$


Найдем площадь полной поверхности

Sполн = Sосн + Sбок = $27\sqrt{3}+54\sqrt{3}=81\sqrt{3}\,\, _C_M_^2$


Ответ: $81\sqrt{3}\,\, _C_M_^2$

Answer 2

Решение задачи на поиск площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для расчета полной поверхности правильной треугольной пирамиды, которая состоит из площади основания, треугольной боковой поверхности и площади всех треугольных граней.

1. Площадь основания пирамиды

Поскольку пирамида правильная треугольная, то площадь основания можно найти по формуле для площади равностороннего треугольника: \[ S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] где \( a \) - длина стороны основания.

2. Площадь треугольной боковой поверхности

Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: \[ S_{\text{бок}} = \frac{P_{\text{осн}} \cdot l}{2} \] где \( P_{\text{осн}} \) - периметр основания, \( l \) - апофема.

3. Площадь всех треугольных граней

Поскольку у нас правильная пирамида, у нее 4 треугольные грани одинаковой площади.

4. Площадь полной поверхности

Теперь мы можем сложить все три полученные площади, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды.

Давайте найдем площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с апофемой 6 см и углом 60 градусов.