Question

Докажите, что число имеет нечетное количество делителей тогда и только тогда когда оно являетса полним квадратом. Какие натуральные числа имеют четное число натуральних делителей?

Answer 1

полный квадрат как минимум делится на себя, на 1 и на само число, которое в квадрате

4(1,2,4), 9(1,3,9)

Answer 2

Чтобы доказать утверждение, что число имеет нечетное количество делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом, мы можем использовать следующую логику.

Число имеет нечетное количество делителей, если и только если оно является полным квадратом.

# Доказательство:

Пусть n - некоторое целое число.

1. Если n является полным квадратом, тогда его корень можно обозначить как √n. По определению полного квадрата, √n будет целым числом. То есть, существует целое число k, такое что k^2 = n. Таким образом, n делится на k без остатка.

2. Предположим, что n имеет нечетное количество делителей. Это означает, что каждый делитель n имеет свой парный делитель, за исключением возможно одного делителя, который является квадратом n (потому что квадрат числа не имеет парного делителя). Другими словами, каждый делитель n можно представить в виде произведения двух чисел: d = a * b, где a и b - целые числа. При этом a и b различны, за исключением случая, когда d является квадратом числа n, то есть d = k^2, где k - целое число.

3. Предположим, что n не является полным квадратом. В этом случае, n будет иметь хотя бы два различных делителя, которые можно представить в виде произведения двух различных чисел: n = a * b. Таким образом, n делится на a и b без остатка.

4. Из пункта 3 следует, что если n не является полным квадратом, то у него будет четное количество делителей, так как каждый делитель будет иметь свой парный делитель.

# Итак, мы доказали, что число имеет нечетное количество делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом.

Теперь рассмотрим вопрос о том, какие натуральные числа имеют четное количество делителей. Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны понять, какие числа могут иметь нечетное количество делителей.

В предыдущем доказательстве мы установили, что число имеет нечетное количество делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом. Следовательно, любое натуральное число, которое не является полным квадратом, будет иметь четное количество делителей.

Например, число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3 и 6. В этом случае, 6 не является полным квадратом и имеет четное количество делителей.

# Итак, натуральные числа, которые не являются полными квадратами, имеют четное количество натуральных делителей.