Question

В четырехугольнике ABCD AB=ВС, CD=DA. Точки K и L расположены на отрезках AB и BC таким образом, что BK=2AK, BL=2CL. Точки M и N – середины отрезков CD и DA соответственно. Докажите, что отрезки KM и LN равны.

Answer 1

 дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD и ∠ ABC = ∠ CDA. 
проведем диагональ DB.  . Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º, 
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA.= 360 º. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ DAB + 8736 ABC = 180 º и ∠ BCD + ∠ CDA = 180 º. 
Углы BCD и CDA являются внутренними одно - нними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме  прямых, прямые AD и ВС параллельны.

Answer 2

Для доказательства равенства отрезков KM и LN в четырехугольнике ABCD с условиями AB=BC, CD=DA, BK=2AK и BL=2CL, мы можем использовать метод подобия треугольников.

Давайте рассмотрим треугольники ABK и CBL. У нас имеются следующие факты:

1. AB = BC (дано) 2. BK = 2AK (дано) 3. BL = 2CL (дано)

Теперь давайте рассмотрим отношение сторон треугольников ABK и CBL. Поскольку BK = 2AK и BL = 2CL, мы можем записать:

AK/BK = 1/2 CL/BL = 1/2

Теперь давайте рассмотрим треугольники AKM и CLN. У нас имеются следующие факты:

1. CD = DA (дано) 2. M и N - середины отрезков CD и DA соответственно

Теперь давайте рассмотрим отношение сторон треугольников AKM и CLN. Поскольку M и N - середины отрезков CD и DA, мы можем записать:

AM/CM = 1/1 CN/DN = 1/1

Теперь давайте рассмотрим треугольники AMK и CNL. У нас есть следующие факты:

1. AK/BK = 1/2 2. AM/CM = 1/1 3. CN/DN = 1/1

Используя свойство подобия треугольников, мы можем сделать вывод, что треугольники AMK и CNL подобны. Таким образом, отношение сторон AM и CN будет такое же, как отношение сторон AK и CL:

AM/CN = AK/CL

Так как AK/CL = 1/2 (из треугольников ABK и CBL), мы можем записать:

AM/CN = 1/2

Теперь давайте рассмотрим треугольники KMN и LNM. У нас есть следующие факты:

1. AM/CN = 1/2 2. M и N - середины отрезков CD и DA

Используя свойство подобия треугольников, мы можем сделать вывод, что треугольники KMN и LNM также подобны. Таким образом, отношение сторон KM и LN будет такое же, как отношение сторон AM и CN:

KM/LN = AM/CN = 1/2

Таким образом, мы доказали, что отрезки KM и LN равны.