Question

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми: r = 8sin4α

Answer 1

Уравнение задаёт в полярной системе координат четырёхлепестковую розу. Лепестки будут располагаться в секторах, ограниченных прямыми

$\varphi =0,\; \varphi =\frac{\pi}{4},\; \varphi =\frac{\pi}{2},\; \varphi =\frac{3\pi}{4},\; \varphi =\pi ,\; \varphi =\frac{5\pi}{4},\; \varphi =\frac{3\pi}{2},\; \varphi =\frac{7\pi}{4},$

так как 

$r=8sin4\varphi \geq 0\; \; \Rightarrow \; \; sin4\varphi \geq 0\\\\2\pi n \leq 4\varphi \leq \pi +2\pi n\; , \; n\in Z\\\\\frac{\pi n}{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\\\\n=0:\; 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\\\\n=1:\; \frac{\pi}{2}\leq \varphi \leq \frac{3\pi}{4}\\\\n=2:\; \pi \leq \varphi \leq \frac{5\pi}{4}$

$n=3:\; \frac{3\pi}{2} \leq \varphi \leq \frac{7\pi }{4}$

При n=4,5,... секторы будут повторяться.
Достаточно подсчитать площадь одного лепестка и умножить её на 4, чтобы найти площадь розы.

$S=\frac{1}{2}\int _{\varphi _1}^{\varphi _2}r^2(\varphi )d\varphi \\\\S=4\cdot \frac{1}{2}\int _0^{\frac{\pi}{4}}\, 8^2sin^24\varphi d\varphi =2\cdot 8^2\int _0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-cos8\varphi }{2}d\varphi =\\\\=8^2\int _0^{\frac{\pi}{4}}(1-cos8\varphi )d\varphi =8^2(\varphi -\frac{1}{8}sin8\varphi )|_0^\frac{\pi}{4}=\\\\=8^2(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{8}sin2\pi )=16\cdot \pi$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми, нам необходимо использовать интегралы. В данном случае у нас есть уравнение кривой в полярных координатах: r = 8sin(4α), где r - радиус, α - угол.

Шаг 1: Построение графика кривой

Первым шагом я предлагаю построить график кривой, чтобы визуализировать форму фигуры. Давайте начнем с построения графика этой кривой:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

alpha = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
r = 8 * np.sin(4 * alpha)

x = r * np.cos(alpha)
y = r * np.sin(alpha)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График кривой r = 8sin(4α)')
plt.grid(True)
plt.show()

Запустив этот код, вы получите график кривой, ограничивающей фигуру.

Шаг 2: Вычисление площади с использованием интегралов

Для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной кривыми, мы можем использовать формулу:

S = ∫[α1, α2] 0.5 * r^2 dα

где S - площадь, α1 и α2 - углы, на которых фигура пересекает положительную ось x, r - радиус в зависимости от угла α.

В нашем случае, кривая r = 8sin(4α) пересекает положительную ось x в точках α = 0 и α = π/8 (так как sin(π/8) = 1). Таким образом, мы можем вычислить площадь следующим образом:

S = ∫[0, π/8] 0.5 * (8sin(4α))^2 dα

Шаг 3: Вычисление интеграла

Для вычисления этого интеграла мы можем использовать интегрирование численными методами, такими как метод прямоугольников или метод тrapezoidal (метод трапеций). Вот пример использования метода трапеций для вычисления этого интеграла с использованием Python:

from scipy.integrate import quad

def integrand(alpha):
    r = 8 * np.sin(4 * alpha)
    return 0.5 * r**2

result, _ = quad(integrand, 0, np.pi/8)
print("Площадь фигуры:", result)

Здесь мы определяем функцию integrand, которая вычисляет значение подынтегральной функции 0.5 * r^2 для данного значения α. Затем мы используем функцию quad из модуля scipy.integrate для численного интегрирования этой функции на интервале [0, π/8]. Результатом является значение площади фигуры.

Результат

После выполнения кода вы увидите значение площади фигуры.