Question

Обчислити 1^2-2^2+3^2-4^2+...+99^2-100^2+101^2

Answer 1

Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно применим разность квадратов.

$1^2-2^2+3^2-4^2+...+99^2-100^2+101^2=1+(3-2)(3+2)+\\ \\ +(5-4)(5+4)+...+(101-100)(101+100)=\\ \\ =1+5+9+...+201$

Заметим, что это арифметическая прогрессия с первым членом a1=1 и разностью прогрессии d=4

$a_n=a_1+(n-1)d\\ \\ 201=1+4(n-1)\\ \\ 201=4n-3\\ 204=4n\\ \\ n=51$

Найдем сумму первых 51 членов арифметической прогрессии

$S_{51}= \dfrac{2a_1+50d}{2}\cdot 51=51(a_1+25d)=51\cdot 101=5151$


ОТВЕТ: 5151.

Answer 2

Для вычисления данного выражения нам нужно сначала выразить его в виде суммы. Мы видим, что у нас есть разница квадратов, поэтому мы можем воспользоваться формулой разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Применяя эту формулу к каждой паре чисел в выражении, мы получаем:

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 + 101^2 = (1 + 2)(1 - 2) + (3 + 4)(3 - 4) + ... + (99 + 100)(99 - 100) + 101^2

Теперь мы можем выразить это выражение в виде суммы:

= (-1) + (-1) + (-1) + ... + (-1) + 101^2

Мы видим, что все скобки в сумме дают -1, их количество равно количеству пар чисел (100), поэтому:

= -100 + 101^2

Теперь мы можем вычислить значение этого выражения:

= -100 + 101^2 = -100 + 10201 = 10101

Таким образом, сумма выражения 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 + 101^2 равна 10101.