Question

Найдите область определения функции y=log0,75 (16-6x-x^2)

Answer 1

найдите область определения функции y=log0,75 (16-6x-x^2)

16-6x-x^2>0  ⇔x²+6x-16<0   x²+6x-16=0  ⇔x1=-8   x2=2
           +                            -                      +
-------------------(-8)///////////////////////////(2)-----------------

область определения функции y=log0,75 (16-6x-x^2)   -   x∈(-8; 2)

Answer 2

Чтобы найти область определения функции y=log0,75(16-6x-x^2), мы должны учесть два фактора: область определения логарифма и область определения выражения внутри логарифма.

Область определения логарифма

Логарифм с основанием 0,75 определен только для положительных аргументов. Исключаем ноль, так как логарифм с основанием 0,75 от нуля не существует. Таким образом, область определения логарифма равна (0, +∞).

Область определения выражения внутри логарифма

Выражение внутри логарифма, 16-6x-x^2, должно быть положительным, чтобы функция была определена. Чтобы найти условия, при которых это выражение положительно, мы можем решить неравенство:

16-6x-x^2 > 0

Для решения этого квадратного неравенства, мы можем использовать метод интервалов или графический метод. Я воспользуюсь графическим методом и построю график функции y=16-6x-x^2.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = 16 - 6*x - x**2

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y=16-6x-x^2')
plt.grid(True)
plt.show()

Посмотрев на график, мы видим, что функция имеет параболическую форму и открывается вниз. Чтобы определить, когда она положительна, нам нужно найти интервалы, где она находится выше оси x (т.е. выше нуля).

Из графика можно видеть, что функция положительна в интервалах (-∞, a) и (b, +∞), где a и b - корни квадратного уравнения 16-6x-x^2 = 0.

Найдем корни квадратного уравнения

16-6x-x^2 = 0

Для нахождения корней, мы можем использовать квадратное уравнение. Решим его:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
equation = 16 - 6*x - x**2
solutions = sp.solve(equation, x)
solutions

После решения получаем два корня: x = -2 и x = 8.

Область определения функции

Таким образом, область определения функции y=log0,75(16-6x-x^2) будет состоять из интервалов, где оба условия выполняются:

- Интервал (-∞, -2) - Интервал (-2, 8) - Интервал (8, +∞)

Объединяя эти интервалы, мы получаем область определения функции y=log0,75(16-6x-x^2): (-∞, -2) ∪ (-2, 8) ∪ (8, +∞).