Question

Ненулевые числа а,b удовлетворяют условиям: 6a+6b=25/a+25/b=25. Чем может равняться значение выражения: a/b+b/a?

Answer 1

Решаем систему
{ 6a + 6b = 25
{ 25/a + 25/b = 25
Делим 1 уравнение на 6, а 2 уравнение на 25
{ a + b = 25/6
{ 1/a + 1/b = 1
Получаем
(a + b)/(ab) = 1
a + b = ab = 25/6
Из равенства a + b = ab получаем b(a - 1) = a, то есть 
b = a/(a - 1).
Подставляем
a + a/(a - 1) = 25/6
6a(a - 1) + 6a = 25(a - 1)
6a^2 - 6a + 6a - 25a + 25 = 0
6a^2 - 25a + 25 = 0
D = 25^2 - 4*6*25 = 25*(25 - 24) = 25 = 5^2
a1 = (25 - 5)/12 = 20/12 = 5/3; b1 = 25/6 - a = 25/6 - 5/3 = 15/6 = 5/2
a2 = (25 + 5)/12 = 30/12 = 5/2; b2 = 25/6 - a = 25/6 - 5/2 = 10/6 = 5/3
Итак, числа а и b равны 5/2 и 5/3.
a/b + b/a = (5/2):(5/3) + (5/3):(5/2) = 5/2*3/5 + 5/3*2/5 = 3/2 + 2/3 = 13/6

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться системой уравнений, которая задана условиями:

1) 6a + 6b = 25 2) 25/a + 25/b = 25

Давайте сначала решим первое уравнение относительно одной переменной. Разделим оба выражения первого уравнения на 6:

a + b = 25/6

Теперь мы можем выразить a через b или b через a. Для удобства выберем первый вариант:

a = (25/6) - b

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

25/((25/6) - b) + 25/b = 25

Для упрощения выражения, умножим оба выражения уравнения на (25/6) - b:

25 + 25*((25/6) - b)/b = 25*((25/6) - b)

Упростим это выражение:

25 + 25*(25 - 6b)/(6b) = 25*(25/6) - 25b

Распишем произведение в последнем слагаемом:

25 + (625 - 150b)/(6b) = (625/6) - 25b

Умножим оба выражения уравнения на 6b:

150b + 6(625 - 150b)/(6b) = 625 - 150b

Упростим:

150b + (625 - 150b)/b = 625 - 150b

Умножим оба выражения на b:

150b^2 + 625 - 150b = 625b - 150b^2

Сгруппируем все члены с b в одну сторону:

300b^2 - 625b + 625 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью квадратного трехчлена:

b = (-(-625) ± sqrt((-625)^2 - 4*300*625))/(2*300)

Упрощаем:

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

b = (625 ± sqrt(625^2 - 4*300*625))/(600)

Теперь мы можем найти значение a, подставив значение b в любое изначальных уравнений. Например, используя первое уравнение:

a = (25/6) - b

Теперь, когда мы нашли значения a и b, мы можем вычислить значение выражения a/b + b/a. Подставим значения в это выражение и произведем вычисления:

a/b + b/a = ((25/6) - b)/b + b/((25/6) - b)

Выполним умножение и сложение:

a/b + b/a = ((25 - 6b)/6b) + (6b/(25 - 6b))

Сократим общий знаменатель:

a/b + b/a = (25 - 6b + 6b)/(6b(25 - 6b))

Упростим:

a/b + b/a = 25/(6b(25 - 6b))

Таким образом, значение выражения a/b + b/a равно 25/(6b(25 - 6b)). Заметим, что значение выражения зависит от значения b. Поэтому, чтобы получить конкретное значение, необходимо решить квадратное уравнение для b и подставить его в данное выражение.