Question

Докажите,что из 2017 полосок шириной 1 и длинами 1-2017 можно составить прямоугольник,длина и ширина которого больше 1. Какова будет его площадь.

Answer 1

В общем так. Вначале нашёл я сумму всех длин
S=1+2+3+...+2017=2035153.
Хотел посмотреть на что  она вообще делится. В общем в 2, 3, 4  и т. д. ряда не удастся разбить. НО...
При вычислении данной суммы по формуле для  суммы арифметической прогрессии:
$S_{n}=(a_{1}+a_{n}) *\frac{n}{2}$
Замечаем такую штуку
$S_{n}=(1+2017) *\frac{2017}{2} =2018*\frac{2017}{2}=1009*2017=2035153$
Т.е. напрашивается мысль, что можно разбить на 1009 полосок длиной в 2017 и составить прямоугольник 1009x2017.
И действительно одна полоска у нас уже 2017, а остальные составим так:
2016+1=2017
2015+2=2017
2014+3=2017
 и т.д.
Всего таких составных полос буде 2016/2=1008.
И одна 2017 цельная
Итак прямоугольник в 2017x1009 можно составить.
Его площадь будет равна 2035153

Answer 2

Для того чтобы доказать, что из 2017 полосок шириной 1 и длиной 1-2017 можно составить прямоугольник, рассмотрим следующую ситуацию:

Представим каждую полоску как отрезок длиной 1 и шириной 1, затем выложим их в виде прямоугольника. Поскольку 2017 - нечетное число, мы можем выложить их в виде прямоугольника с размерами 1x2017, 3x671, 7x287, 29x69 и т.д.

Теперь найдем прямоугольник, длина и ширина которого больше 1. Для этого выберем прямоугольник с размерами 29x69. Его площадь будет равна 29 * 69 = 2001.

Таким образом, мы доказали, что из 2017 полосок шириной 1 и длиной 1-2017 можно составить прямоугольник, длина и ширина которого больше 1, и его площадь будет равна 2001.