Question

Решить уравнение: 2arcsin^2x - 7arcsinx +3=0

Answer 1

$2\arcsin^2x-7\arcsin x+3=0\\O.D.3.:\;\;x\in[-1,\;1]\\\arcsin x=t,\;\arcsin^2x=t^2\\2t^2-7t+3=0\\D=49-4\cdot2\cdot3=49-24=25=(5)^2\\t_{1,2}=\frac{7\pm5}4\\t_1=3,\;t_2=\frac12\\\arcsin x=3\Rightarrow x=\sin3\\\arcsin x=\frac12\Rightarrow x=\sin\frac12$

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся подходом, основанном на использовании тригонометрических тождеств и алгебраических методов. Давайте посмотрим, как это можно сделать.

Подготовительные шаги:

1. Введем новую переменную: пусть `y = arcsin(x)`. Тогда наше уравнение примет вид: `2y^2 - 7y + 3 = 0`. 2. Решим полученное квадратное уравнение относительно `y`. Для этого можно использовать факторизацию, квадратное уравнение или формулу дискриминанта.

Решение квадратного уравнения:

Выражение `2y^2 - 7y + 3` можно факторизовать следующим образом: `(2y - 1)(y - 3) = 0`. Таким образом, получаем два уравнения: 1. `2y - 1 = 0` 2. `y - 3 = 0`

Решим каждое из уравнений:

1. `2y - 1 = 0` `2y = 1` `y = 1/2`

2. `y - 3 = 0` `y = 3`

Подстановка обратно:

Теперь, когда мы нашли значения `y`, которые являются решениями квадратного уравнения, мы можем подставить их обратно в исходное уравнение `y = arcsin(x)`, чтобы найти соответствующие значения `x`.

1. Когда `y = 1/2`: `arcsin(x) = 1/2` `x = sin(1/2)` `x ≈ 0.5236` (в радианах)

2. Когда `y = 3`: `arcsin(x) = 3` `x = sin(3)` `x ≈ 0.1411` (в радианах)

Таким образом, уравнение `2arcsin^2(x) - 7arcsin(x) + 3 = 0` имеет два решения: `x ≈ 0.5236` и `x ≈ 0.1411`. Оба значения `x` указаны в радианах.