Question

Длина основания равнобедренного треугольника равна 12см, а длина боковой стороны 10 см. К вписанной в этот треугольник окружности проведены касательные, параллельные высоте, опущенной на основание. В результате образовались два прямоугольных треугольника. Найдите длины сторон этих треугольников.

Answer 1

1) В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если медиана равна 3 см. 

2) В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей. 

3) Найти стороны АВ и АС в треугольнике ABC, если BC=8, а длины высот, опущенных на АС и ВС равны соответственно 6,4 и 4 см. 

4) К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника. 

5) Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника. 

6) В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании треугольника. 

7) Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношения площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов. 

8) В треугольник со сторонами 10,17 и 21 см вписан прямоугольник с периметром 24 см так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника. 

9) Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26. Две меньшие стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на большей стороне. Найти радиус окружности. 

10) Две стороны треугольника равны 6 и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны.Найти третью сторону треугольника. 

Answer 2

Решение:

Для начала, найдем высоту равнобедренного треугольника с основанием длиной 12 см и боковой стороной длиной 10 см. По теореме Пифагора, мы можем использовать следующее соотношение:

\[ h^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 = 10^2 \]

\[ h^2 + 36 = 100 \]

\[ h^2 = 100 - 36 \]

\[ h^2 = 64 \]

\[ h = \sqrt{64} \]

\[ h = 8 \]

Таким образом, высота равнобедренного треугольника равна 8 см.

Теперь, мы можем использовать высоту для нахождения длин катетов образовавшихся прямоугольных треугольников. Один катет будет равен половине основания (6 см), а второй катет будет равен 8 см.

Таким образом, длины сторон образовавшихся прямоугольных треугольников составляют:

1. Первый прямоугольный треугольник: - Одна сторона: 6 см (половина основания) - Другая сторона: 8 см (высота)

2. Второй прямоугольный треугольник: - Одна сторона: 6 см (половина основания) - Другая сторона: 8 см (высота)

Таким образом, длины сторон образовавшихся прямоугольных треугольников равны 6 см и 8 см.