Question

Сколько раз встречается единица в записи суммы 9+99+...+99...9.{2013}

Answer 1

Как видно, все числа этой суммы (9,99,999...) это 10^n - 1. Всего таких чисел 2013. Добавим к каждому из этих чисел по единице. У нас получится выражение 10+100+1000+...+10...0{2014}.
Сложив все эти числа у нас получится число, состоящее из 2013 единиц и одного нуля (111111...11110). Чтобы вернуться к исходной сумме (9+99+999...) отнимем от получившегося числа 2013 единиц, которые мы прибавляли до этого. При вычитании 2013 из нашего числа (11111...11110) изменятся только последние 5 цифр (11111...11110-2013). Как видим, среди этих пяти цифр 4 единицы и 1 ноль. Но после вычитания все эти 5 цифр не будут равны 1 (11110-2013=09097; 0≠1, 9≠1, 7≠1). Т.е. конечное число будет содержать 2013 единиц - 4 единицы = 2009 единиц.