Question

Сколькими нулями оканчивается число: 2016! = 1*2*3*4*...*2014*2015*2016?Даю 40 баллов!

Answer 1

Представим наше число
$P=2016!$
в виде
$P=10^n*Q$
где Q не делится на 10. Тогда P оканчивается ровно n нулями.
10 в свою очередь равно произведению 2 и 5. Поэтому P оканчивается на минимум между степенями 2 и 5 в разложении числа P:
$P=2^m*W=5^b*E\\n=min(m,b)$
Посчитаем, в какой степени входит 5 в разложение на множители числа P. Так как P является произведением 2016 чисел, то нам надо посмотреть, в какой степени 5 входит в каждое из этих чисел. Максимальная степень - 4, т.к. $5^4=625\ \textless \ 2016, 5^5=3125\ \textgreater \ 2016$
5^4 содержится в разложении на множители $[{2016\over625}]=3$ чисел (квадратные скобки - целая часть числа).
5^3 содержится в разложении на множители $[{2016\over125}]=16$. Вычтем уже учтенные в 5^4 и останется 13.
5^2 содержится в разложении на множители $[{2016\over25}]=80$. Вычтем уже учтенные и останется 64.
5^1 содержится в разложении на множители $[{2016\over5}]=403$. Вычтем уже учтенные и останется 323.
Итого: 323+64*2+13*3+3*4=502.
У 2 степень в разложении больше (по крайней мере 2016/2=1008).
Поэтому оканчивается на 502 нуля.