Question

50 балов за задачу, срочно нужно доказательство! В трапеции ABCD точка M-середина боковой стороны CD .Докажите , что если точка Mлежит на биссектрисе угла A,то она лежит и на биссектрисе угла B.

Answer 1

Так
По свойству трапеции Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. А точка M лижит и на биссектрисе и на средней линии => точка B тоже пересекает среднюю линию в точке M.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами трапеции.

Пусть точка M лежит на биссектрисе угла A трапеции ABCD.

Так как M - середина боковой стороны CD, то отрезок MC равен отрезку MD.

По свойству трапеции, сумма длин оснований трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции:

AB + CD = 2AD

Также из биссектрисной теоремы известно, что отрезок MC делит сторону AB в отношении радиусов сопряженных окружностей, вписанных в треугольники AMC и BMD.

Пусть x - отношение длины отрезка AM к длине отрезка MB.

Тогда AM = xAB и MB = (1 - x)AB.

Подставим найденные значения в равенство для оснований трапеции:

xAB + CD = 2AD

Поскольку точка M лежит на биссектрисе угла A, то угол AMC равен углу AMB.

Поэтому треугольники AMC и BMD равны по двум сторонам и общему углу.

Из равенства сторон следует, что углы CAM и CBM равны.

Таким образом, точка M лежит на биссектрисе угла B.

Таким образом, мы доказали, что если точка M лежит на биссектрисе угла A трапеции ABCD, то она также лежит на биссектрисе угла B.

Ответ: Доказано.