Question

Исследовать функцию на монотонность y=x^5+3x^3+12x

Answer 1

Не понимаю о чем речь, но тут Х принадлежит пустому множество

Answer 2

Для исследования функции y = x^5 + 3x^3 + 12x на монотонность, нам потребуются производные этой функции.

1. Найдем первую производную: y' = 5x^4 + 9x^2 + 12

2. Найдем вторую производную: y'' = 20x^3 + 18x

Теперь, используя производные, исследуем монотонность функции.

1. Чтобы определить экстремумы функции, найдем точки, в которых первая производная равна нулю: 5x^4 + 9x^2 + 12 = 0

Это уравнение 4-ой степени, и его решение довольно сложно. Однако, можно заметить, что все коэффициенты положительные, что означает, что функция является вогнутой вверх. Значит, экстремумы отсутствуют.

2. Теперь посмотрим на знак первой производной, чтобы определить, где функция монотонно возрастает или убывает.

y' = 5x^4 + 9x^2 + 12

Решим неравенство 5x^4 + 9x^2 + 12 > 0:

Для этого заметим, что коэффициенты положительные, значит функция положительная, когда все слагаемые положительные.

1) x^4 > 0 - всегда положительно, так как является четной степенью. 2) x^2 > 0 - положительно при любом x, кроме x = 0, но рассматриваемый интервал не включает ноль. 3) 12 > 0 - всегда положительно.

Значит, первая производная всюду положительна, и функция y = x^5 + 3x^3 + 12x монотонно возрастает на всей числовой оси.

3. Теперь посмотрим на знак второй производной, чтобы определить выпуклость и вогнутость функции.

y'' = 20x^3 + 18x

Решим неравенство 20x^3 + 18x > 0:

Вынесем общий множитель 2x:

y'' = 2x(10x^2 + 9)

Далее рассмотрим знаки каждого слагаемого:

1) 2x > 0, когда x > 0. 2) 10x^2 + 9 > 0, так как представляет собой квадратный трехчлен с положительным дискриминантом.

Значит, вторая производная положительная на интервале x > 0, а значит, функция является выпуклой вверх на данном интервале.

Соответственно, функция y = x^5 + 3x^3 + 12x монотонно возрастает на всей числовой оси и является выпуклой вверх на интервале x > 0.