Question

Исследуйте функцию на экстремум: -1/4*x^4+8*x

Answer 1

найти производную:

-1/4*4х^3+8=-x^3=-8

x=2 это и есть экстремум

Answer 2

Чтобы исследовать функцию на экстремум, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. 2. Найти критические точки, где производная равна нулю или не существует. 3. Проанализировать знак производной в интервалах между критическими точками. 4. Определить, являются ли эти точки локальными минимумами, максимумами или точками перегиба. 5. Если функция определена на открытом интервале, провести анализ поведения функции на бесконечности.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найти производную функции: \( f(x) = -\frac{1}{4}x^4 + 8x \)

Производная: \( f'(x) = -x^3 + 8 \)

2. Найти критические точки: Решим уравнение \( f'(x) = 0 \): \( -x^3 + 8 = 0 \)

Получаем: \( x^3 = 8 \)

Отсюда следует, что \( x = 2 \) - единственная критическая точка.

3. Проанализировать знак производной в интервалах: Теперь возьмем три интервала: \( (-\infty, 2), (2, \infty) \), и точку \( x = 2 \). - В интервале \( (-\infty, 2) \): Подставим \( x = 1 \) в производную: \( f'(-1) = -1 + 8 = 7 \) (положительное значение).

- В интервале \( (2, \infty) \): Подставим \( x = 3 \) в производную: \( f'(3) = -27 + 8 = -19 \) (отрицательное значение).

- В точке \( x = 2 \): Это критическая точка, и значение производной равно 0.

4. Определить характер критической точки: При \( x = 2 \) производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, у нас есть локальный максимум.

5. Анализ поведения функции на бесконечности: Посмотрим, как ведет себя функция на бесконечности. Поскольку старший член многочлена отрицательный (\( -\frac{1}{4}x^4 \)), функция будет убывать на бесконечности.

Итак, у нас есть локальный максимум в точке \( x = 2 \).