Question

Найти перевообразну функцей f (x)=9x2+sin3x

Answer 1

$f(x)=9x^2+sin3x\\\\F(x)=\int (9x^2+sin3x)dx=9\cdot \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3} cos3x+C=3x^3- \frac{1}{3} cos3x+C\\\\\\\star \; \; \; \int sin(kx+b)dx=-\frac{1}{k}cos(kx+b)+C\; \; \star$

Answer 2

Дана функция f(x) = 9x^2 + sin(3x). Найдем ее образ.

Образ функции f(x) отражает значения, которые она принимает при изменении аргумента x. Для нахождения образа нужно преобразовать функцию исходя из ее свойств.

1. Определим область определения функции f(x). В данном случае она определена для любых значений x, так как функция является бесконечной.

2. Найдем производную функции f(x) для изучения ее поведения: f'(x) = 18x + 3cos(3x).

3. Найдем критические точки функции, то есть значения x, при которых производная равна нулю или не существует: 18x + 3cos(3x) = 0.

4. Найдем максимумы и минимумы функции путем анализа поведения производной и второй производной: f''(x) = 18 - 9sin(3x). f''(x) > 0 при x < (pi/6 + kpi)/3, где k - любое целое число. f''(x) < 0 при (pi/6 + kpi)/3 < x < (pi/2 + kpi)/3, где k - любое целое число. f''(x) > 0 при x > (pi/2 + kpi)/3, где k - любое целое число.

5. Анализируя полученную информацию, можно построить график функции и определить ее образ. Общее поведение функции f(x) можно описать следующим образом: - При x = 0 функция принимает значение 0. - Функция f(x) является парной относительно оси ординат. - Максимумы и минимумы функции будут повторяться при значениях x = (pi/6 + kpi)/3 и x = (pi/2 + kpi)/3, где k - любое целое число. - Размах изменения функции на фиксированном промежутке возрастает с увеличением значения x. - Производная функции показывает, что функция имеет нули, максимумы и минимумы на интервалах между критическими точками.

Таким образом, образ функции f(x) = 9x^2 + sin(3x) будет зависеть от значений аргумента x и будет иметь следующие свойства, соответствующие полученным результатам анализа.