Question

Найдите сумму целых положительных решений неравенства (х-1)^2/4-х>0

Answer 1

$\frac{(x-1)^2}{4}-x\ \textgreater \ 0 \ \\ x^2-2x+1-4x\ \textgreater \ 0 \ \\ x^2-6x+1\ \textgreater \ 0 \ \\ (x-3+2\sqrt{2})(x-3-2\sqrt{2})\ \textgreater \ 0 \ \\ x\ \textgreater \ 3+2\sqrt{2}, x\ \textless \ 3-2\sqrt{2}$

Answer 2

Неравенство можно переписать в следующем виде:

(x-1)^2/4 - x > 0

Первым шагом рассмотрим знак левой части неравенства. Заметим, что квадрат числа всегда неотрицательный, поэтому (x-1)^2/4 всегда неотрицательно. Теперь нужно рассмотреть два случая.

1. (x-1)^2/4 - x > 0, когда (x-1)^2/4 > x В этом случае выполняются два условия: (i) (x-1)^2/4 > 0 - квадрат ненулевого числа всегда положителен (ii) (x-1)^2/4 > x, то есть (x-1)^2 > 4x Раскрыв скобку в (ii), получим x^2 - 2x + 1 > 4x, что приводит к следующим результатам: x^2 - 6x + 1 > 0 Функция y = x^2 - 6x + 1 является параболой с ветвями, направленными вверх, и вершиной находящейся в точке (3, -8). Затем мы анализируем, какой знак принимает функция на различных интервалах: - бесконечность < x < 3: отрицательные значения функции - x = 3: значение функции в вершине (-8) - x > 3: положительные значения функции

Таким образом, неравенство x^2 - 6x + 1 > 0 выполняется при x < 3 или x > 3.

2. (x-1)^2/4 - x > 0, когда (x-1)^2/4 < x В этом случае, кроме условия (i) (x-1)^2/4 > 0, нам нужно еще выполнить условие (ii) (x-1)^2/4 < x. Раскрыв скобку в (ii), получим x^2 - 2x + 1 < 4x, что приводит к следующим результатам: x^2 - 6x + 1 < 0

Функция y = x^2 - 6x + 1 является параболой с ветвями, направленными вверх, и вершиной находящейся в точке (3, -8). Поиск знаков функции на различных интервалах дает нам следующие результаты: - бесконечность < x < 3: положительные значения функции - x = 3: значение функции в вершине (-8) - x > 3: отрицательные значения функции

Таким образом, неравенство x^2 - 6x + 1 < 0 выполняется только в промежутке 3 < x < бесконечность.

Теперь объединим все полученные результаты. Мы знаем, что неравенство выполняется при x < 3 или x > 3. Однако, поскольку мы ищем целые положительные решения, нужно исключить интервалы, в которых x нецелое или x <= 0. Таким образом, решением неравенства (x-1)^2/4 - x > 0 являются все целые положительные числа, большие 3.

Следовательно, сумма целых положительных решений данного неравенства равна бесконечности.