Question

Задано уравнение 2х + 3у =6 . запишите второе уравнение системы так чтобы полученная система : 1)имела единственное решение 2)не имела решений 3) имела бесконечное множество решений

Answer 1

1) Единственное решение системы  $\left \{ {{2x+3y=6} \atop {x-2y=3}} \right.$  пара чисел  (3,0) . Коэффициенты перед неизвестными не пропорциональны.
2) Система   $\left \{ {{2x+3y=6} \atop {6x+9y=2}} \right.$   не имеет решения (коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены - нет).
3) Система   $\left \{ {{2x+3y=6} \atop {6x+9y=18}} \right.$  имеет бесчисленное множество решений (коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны).

Answer 2

Дано уравнение \(2x + 3y = 6\). Для того чтобы получить систему уравнений с определенными характеристиками решений, мы можем добавить к этому уравнению другое уравнение.

1) Чтобы система имела единственное решение, второе уравнение должно быть линейно независимым от первого. Например, возьмем уравнение линейной функции, которая не параллельна данной прямой \(2x + 3y = 6\). Таким образом, одно из возможных уравнений, удовлетворяющих условию, может быть \(4x - 6y = 3\). Это уравнение не параллельно первому, и их пересечение будет образовывать единственную точку, являющуюся решением системы.

2) Чтобы система не имела решений, второе уравнение должно быть параллельным первому и не пересекаться с ним. Для этого уравнение должно иметь ту же наклонную прямую, что и \(2x + 3y = 6\), но с другим значением правой части, которое не позволит им пересекаться. Например, \(2x + 3y = 9\). Это уравнение не имеет общих точек пересечения с первым уравнением и, следовательно, система не будет иметь решений.

3) Чтобы система имела бесконечное количество решений, второе уравнение должно быть эквивалентным первому или параллельным ему, но с одинаковым наклоном и одинаковыми константами. Например, можно взять уравнение \(4x + 6y = 12\), которое является удвоенной версией первого уравнения \(2x + 3y = 6\). Эти уравнения задают одну и ту же прямую, следовательно, система будет иметь бесконечное количество решений.

Таким образом, вторые уравнения, соответствующие каждому из трех случаев:

1) Имеющее единственное решение: \(4x - 6y = 3\) 2) Не имеющее решений: \(2x + 3y = 9\) 3) Имеющее бесконечное количество решений: \(4x + 6y = 12\)