Question

Выяснить делится ли на 3 число 1+2+2^2+...+2^2011+2^2012. Объясните.

Answer 1

Не делится на три, подробности в прикрепленном листочке.

Answer 2

Для того чтобы выяснить, делится ли число 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^2011 + 2^2012 на 3, мы можем воспользоваться основным свойством деления на 3:

Если сумма цифр числа делится на 3, то само число также делится на 3.

Посмотрим, какую сумму цифр имеет число 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^2011 + 2^2012.

Для начала, заметим, что данное число является суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 2. Формула для суммы такой прогрессии:

S = a / (1 - r),

где S - сумма, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

В нашем случае a = 1, r = 2, поэтому

S = 1 / (1 - 2) = 1 / (-1) = -1.

Таким образом, сумма чисел данной прогрессии равна -1.

Теперь нам нужно выяснить, делится ли -1 на 3. Для этого найдем остаток от деления -1 на 3.

-1 = (-1) + 3 * 0,

таким образом, -1 не делится на 3 без остатка.

Следовательно, число 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^2011 + 2^2012 также не делится на 3.