Question

Найдите наименьшее значение функции y=31x-31tgx+13 на отрезке [-п/4;0] Помогите с решением, а не только ответ

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Для нахождения минимального значения функции \(y = 31x - 31\tan(x) + 13\) на отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). 2. Решим уравнение \(y' = 0\) для определения критических точек. 3. Проверим значения \(y\) на концах отрезка и найденных критических точках. 4. Найдем вторую производную и проведем исследование на выпуклость/вогнутость функции. 5. Определение минимума функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\):

\[y' = 31 - 31\sec^2(x)\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y' = 0\) для определения критических точек:

\[31 - 31\sec^2(x) = 0\]

Решение этого уравнения даст нам критические точки.

\[ \sec^2(x) = 1 \]

Это уравнение имеет два решения:

\[ \sec(x) = 1 \Rightarrow x = 0 \] \[ \sec(x) = -1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} \]

Однако, мы ищем решение на отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\), поэтому интересующая нас критическая точка - \(x = 0\).

Шаг 3: Проверим значения функции на концах отрезка и найденной критической точке.

\[y(-\frac{\pi}{4}) = 31 \cdot (-\frac{\pi}{4}) - 31 \tan(-\frac{\pi}{4}) + 13\] \[y(0) = 31 \cdot 0 - 31 \tan(0) + 13\]

Теперь, найдем вторую производную:

\[y'' = 62 \sec^2(x) \tan(x)\]

Шаг 4: Проведем исследование на выпуклость/вогнутость функции.

- Если \(y'' > 0\) на интервале, то функция выпуклая. - Если \(y'' < 0\) на интервале, то функция вогнутая.

На отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\), \(\sec^2(x)\) всегда положительно, и знак определяется \(\tan(x)\).

\[ \tan(-\frac{\pi}{4}) < 0 \]

Таким образом, \(y''\) отрицательна, и функция вогнута.

Шаг 5: Определение минимума функции.

Так как мы имеем дело с вогнутой функцией, критическая точка \(x = 0\) будет точкой минимума функции.

Таким образом, минимальное значение функции \(y\) на отрезке \([- \frac{\pi}{4}, 0]\) равно:

\[y(0) = 31 \cdot 0 - 31 \tan(0) + 13 = 13\]

Так что минимальное значение функции \(y\) равно 13, и достигается при \(x = 0\).