Question

Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, где высота основания пирамиды равно 9 , боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов.

Answer 1

МАВС - правильная пирамиды
АК=9 (высота основания пирамиды)
АК=АВ*√3/2 (формула высоты правильного треугольника: h=a√3/2)
АВ=(2*√3*АК)/3
АВ=2√3*9/3, АВ=6√3
О - точка пересечения высот основания
<MKO=30, ⇒MK=2*OM(катет против угла 30)
ОМ=х, МК=2х, ОК=9
по теореме Пифагора:
(2х)²=9²+х², 3х²=81, х²=27, х=3√3
Sбок=(1/2)*Росн*ha (ha - апофема)
Sбок=(1/2)*3*(6√3)*3√3=27
ответ: Sбок=27

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды:

Sбок = (1/2) * p * l,

где Sбок - площадь боковой поверхности пирамиды, p - периметр основания пирамиды, l - длина биссектрисы боковой грани.

Периметр основания пирамиды равен 3l, так как это правильный треугольник. Значит, p = 3l.

Длина биссектрисы боковой грани можно найти с помощью теоремы косинусов:

l = √(h^2 + r^2),

где h - высота основания пирамиды, r - радиус вписанной окружности основания пирамиды.

Высота основания пирамиды равна 9, а радиус вписанной окружности можно найти с помощью теоремы Пифагора:

r = (a * √3) / 6,

где a - длина стороны основания пирамиды.

Так как это правильный треугольник, все его стороны равны. Пусть a = x, тогда r = (x * √3) / 6.

Теперь можем вычислить боковую площадь:

l = √(9^2 + ((x * √3) / 6)^2),

подставляем значение радиуса:

l = √(81 + (3x^2) / 36) = √(81 + x^2 / 12),

и возвращаемся к формуле площади боковой поверхности:

Sбок = (1/2) * 3x * √(81 + x^2 / 12) = (3/2) * x * √(81 + x^2 / 12).

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле (3/2) * x * √(81 + x^2 / 12).