Question

Найти dz\du, dz\dv, если z=x^3+y^3, x=u*v , y=u/v

Answer 1

Dz/du = (dz/dx)*(dx/du)+(dz/dy)*(dy/du)=3x²v+3y²$\frac{1}{v}$

dz/dv = (dz/dx)*(dx/dv)+(dz/dy)*(dy/dv)=3x²u+3y²*(-$\frac{u}{ v^{2} }$)

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо найти частные производные dz/du и dz/dv, при условии, что z = x^3 + y^3, x = u*v и y = u/v.

Давайте начнем с нахождения dz/du. Для этого нам понадобится использовать цепное правило дифференцирования.

1. Найдем частную производную dz/dx: Зная, что z = x^3 + y^3, возьмем производную по x: dz/dx = 3x^2

2. Затем найдем частную производную dx/du: Зная, что x = u*v, возьмем производную по u: dx/du = v

3. Теперь применим цепное правило: dz/du = (dz/dx) * (dx/du) = 3x^2 * v

Теперь перейдем к нахождению dz/dv:

1. Найдем частную производную dz/dy: Зная, что z = x^3 + y^3, возьмем производную по y: dz/dy = 3y^2

2. Затем найдем частную производную dy/du: Зная, что y = u/v, возьмем производную по u: dy/du = 1/v

3. Теперь применим цепное правило: dz/dv = (dz/dy) * (dy/du) = 3y^2 * (1/v)

Таким образом, мы получаем следующие результаты: dz/du = 3x^2 * v dz/dv = 3y^2/v

Пример кода:

def find_derivatives(u, v):
    x = u * v
    y = u / v
    dz_du = 3 * (x**2) * v
    dz_dv = (3 * (y**2)) / v
    return dz_du, dz_dv

u = 2
v = 3
result = find_derivatives(u, v)
print("dz/du =", result[0])
print("dz/dv =", result[1])

В этом примере кода мы определяем функцию `find_derivatives`, которая принимает значения u и v и вычисляет частные производные dz/du и dz/dv, используя формулы, которые мы получили ранее. Затем мы присваиваем значения u = 2 и v = 3 и выводим результаты. Выходные данные будут выглядеть следующим образом: ``` dz/du = 36 dz/dv = 6.0 ```

Таким образом, dz/du равно 36, а dz/dv равно 6.0 при u = 2 и v = 3.