Question

Решите уравнение y' cosx - y sin x=2x, y(0)=0

Answer 1

y' cosx - y sin x=2x
(y*cosx)'= y'*cosx-y*sinx =>
y*cosx= ∫sin2xdx=$- \frac{1}{2}$*cos2x+C
$y=- \frac{1}{2} *\frac{\cos2x}{cosx} + \frac{C}{cosx}$

Answer 2

Конечно, давайте решим это дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

\[y' + \cos(x) - y \sin(x) = 2x, \quad y(0) = 0.\]

Для начала, давайте найдем общее решение однородной части уравнения:

\[y' - y \sin(x) = 0.\]

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид \(y_h(x) = Ce^{\int \sin(x)dx} = Ce^{-\cos(x)}\).

Теперь найдем частное решение неоднородной части уравнения. Ищем его в виде \(y_p(x) = Ax + B\), где \(A\) и \(B\) - константы. Подставим это в уравнение:

\[y_p' + \cos(x) - y_p \sin(x) = 2x.\]

Найдем производные:

\[y_p' = A,\]

\[y_p \sin(x) = (Ax + B)\sin(x).\]

Теперь подставим обратно в уравнение:

\[A + \cos(x) - (Ax + B)\sin(x) = 2x.\]

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) и приравниваем их к правой части:

\[A = 2,\] \[\cos(x) - B\sin(x) = 0.\]

Отсюда получаем, что \(A = 2\) и \(B = \cos(x)/\sin(x) = \cot(x)\).

Таким образом, частное решение имеет вид \(y_p(x) = 2x + \cot(x)\).

Теперь суммируем общее решение однородной части и частное решение неоднородной части:

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Ce^{-\cos(x)} + 2x + \cot(x).\]

Используем начальное условие \(y(0) = 0\), чтобы найти константу \(C\):

\[0 = Ce^{-\cos(0)} + 2 \cdot 0 + \cot(0).\]

Отсюда \(C = -\cot(0) = 0\), так как \(\cot(0)\) бесконечно.

Таким образом, окончательное решение уравнения:

\[y(x) = 2x + \cot(x).\]