Question

Найдите производную сложной функции: y=∛lncos2x/3

Answer 1

Y`=(∛lncos2x/3)`=1/3* 1/∛(ln²cos2x/3) * 1/(cos2x/3) * (-sin2x/3) *2/3=
=-sin(2x/3)/9cos(2x/3)*∛ln²cos2x/3

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Итак, у нас дана функция y = ∛(ln(cos(2x/3))).

Для начала рассмотрим внутреннюю функцию: ln(cos(2x/3)). Заметим, что здесь имеется натуральный логарифм от косинуса функции 2x/3.

Применим правило дифференцирования сложной функции: если у нас есть функция g(x) и функция f(u), где u=g(x), то производная f(g(x)) равна производной функции f по переменной u, умноженной на производную функции g по переменной x.

Применим данное правило к нашей функции. Для начала, найдем производную внутренней функции:

d/dx [ln(cos(2x/3))] = 1/cos(2x/3) * d/dx[cos(2x/3)].

Теперь найдем производную косинуса:

d/dx[cos(2x/3)] = -sin(2x/3) * (2/3).

Подставим найденную производную косинуса обратно в формулу производной внутренней функции:

d/dx [ln(cos(2x/3))] = 1/cos(2x/3) * (-sin(2x/3) * (2/3)).

Теперь у нас есть производная внутренней функции. Продолжим расчеты.

Проверим, имеет ли внутренняя функция ∛(ln(cos(2x/3))) сложную структуру функции. Да, есть возведение в степень 1/3. Для дальнейшего упрощения возьмем ∛(ln(cos(2x/3))) в качестве u.

Теперь применим правило по нахождению производной для сложной функции. У нас функция y = u^(1/3).

d/dx[u^(1/3)] = (1/3) * u^(-2/3) * d/dx[u].

Теперь найдем производную внутренней функции u = ∛(ln(cos(2x/3))):

d/dx[u] = d/dx[∛(ln(cos(2x/3)))] = d/dx[ln(cos(2x/3))] * (1/3) * (∛(ln(cos(2x/3))))^(-2/3).

Теперь у нас есть все компоненты, чтобы найти производную y = ∛(ln(cos(2x/3))).

Подставим найденные значения:

dy/dx = (1/3) * (1/cos(2x/3) * (-sin(2x/3) * (2/3))) * (∛(ln(cos(2x/3))))^(-2/3).

Таким образом, производная функции y = ∛(ln(cos(2x/3))) равна:

dy/dx = (2/9) * (sin(2x/3)/cos(2x/3)) * (∛(ln(cos(2x/3))))^(-2/3).