Question

1) 1*2+2*3+3*4+4*5+...+2016*2017+2017*2018 Четное или нечетное число? 2) После того, как лифт в 100-этажном доме «отремонтировали», в нем стали работать только кнопки: подъема на 10 этажей и спуска на 4. Может ли теперь умная Саша попасть с любого этажа на любой? 3) А – натуральное число. Известно, что из следующих четырёх утверждений: 1)делится на 2; 2)делится на 4; 3)делится на 12; 4) делится на 24. Ровно одно утверждение не верно. Какое? 4) На прямой отложено пять точек А В С D Е (именно в таком порядке). Известно, что АВ = 19см, СЕ = 97см, FC = BD. Найдите длину DE

Answer 1

1) чётное число т. к.  каждая  сумма (1*2,2*3...) четная, а сумма любого кол-ва чётных чисел чётное число

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку:

1) Выражение \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + 2016 \cdot 2017 + 2017 \cdot 2018\) представляет собой сумму произведений последовательных чисел. Мы можем сгруппировать слагаемые так:

\[ \begin{align*} &1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + 2016 \cdot 2017 + 2017 \cdot 2018 \\ &= (1 \cdot 2) + (2 \cdot 3) + (3 \cdot 4) + \ldots + (2016 \cdot 2017) + (2017 \cdot 2018) \\ &= 2(1 + 3 + 5 + \ldots + 2017) + (2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + \ldots + 2016 \cdot 2017) \\ \end{align*} \]

Обратите внимание, что первая часть является удвоенной суммой нечетных чисел от 1 до 2017, а вторая часть представляет собой сумму произведений последовательных четных и нечетных чисел. Теперь рассмотрим четность и нечетность:

- Удвоенная сумма нечетных чисел будет четной, так как умножение на 2 не меняет четность. - Сумма произведений четных и нечетных чисел будет четной, так как умножение четного числа (вторая часть) на любое число дает четный результат.

Таким образом, результат \(2(1 + 3 + 5 + \ldots + 2017) + (2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + \ldots + 2016 \cdot 2017)\) будет четным числом.

2) Чтобы умная Саша могла попасть с любого этажа на любой, необходимо, чтобы значения 10 и 4 были взаимно простыми (то есть не имели общих делителей, кроме 1). Это не выполняется, так как 10 и 4 имеют общий делитель 2. Следовательно, умная Саша не сможет попасть с любого этажа на любой.

3) Рассмотрим натуральное число \(А\), которое делится на 2, 4, 12 и 24. Так как \(А\) делится на 2, оно является четным. Если \(А\) делится на 4, то оно также делится на 2^2. Если \(А\) делится на 12, то оно делится на 2 \cdot 2 \cdot 3. Наконец, если \(А\) делится на 24, то оно делится на 2^3 \cdot 3.

Таким образом, \(А\) делится на 2^3 \cdot 3, что означает, что утверждение "делится на 4" не верно. Остальные утверждения верны.

4) Рассмотрим точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) на прямой. Так как \(FC = BD\), то точка \(F\) является серединой отрезка \(BC\). Это означает, что \(BF = FC = BD/2\). Теперь рассмотрим треугольник \(BDE\).

По теореме Пифагора:

\[ DE^2 = BD^2 - BF^2 = 19^2 - \left(\frac{BD}{2}\right)^2 \]

Теперь у нас есть выражение для \(DE^2\). Подставим значение \(BD\) из условия \(FC = BD\) и решим:

\[ DE^2 = 19^2 - \left(\frac{BD}{2}\right)^2 = 19^2 - \left(\frac{FC}{2}\right)^2 = 19^2 - \left(\frac{97}{2}\right)^2 \]

Вычислите это выражение, чтобы получить значение \(DE\).

Если у вас возникнут трудности с вычислениями, дайте знать, и я могу помочь более подробно.