Question

Lim(x->0) (cosmx-cosnx)/x^2

Answer 1

-(m в квадрате - n в квадрате)/2

Answer 2

Для начала, мы можем использовать формулу разности косинусов:

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

Применяя эту формулу к нашему выражению, получим:

(cosmx - cosnx) = 2sin((m + n)x/2)sin((m - n)x/2)

Теперь, подставим этот результат обратно в исходное выражение:

Lim(x->0) ((cosmx - cosnx)/x^2) = Lim(x->0) (2sin((m + n)x/2)sin((m - n)x/2)/x^2)

Для упрощения дальнейших вычислений, мы можем использовать следующий факт:

Lim(x->0) (sin(x)/x) = 1

Применяя этот факт, мы можем переписать наше выражение как:

Lim(x->0) (2sin((m + n)x/2)sin((m - n)x/2)/x^2) = Lim(x->0) ((m + n)(m - n)/2 * (sin((m + n)x/2)/((m + n)x/2))^2 * (sin((m - n)x/2)/((m - n)x/2))^2)

Теперь, мы можем заметить, что при x -> 0, выражения ((m + n)x/2) и ((m - n)x/2) стремятся к нулю. Поэтому, мы можем использовать факт:

Lim(y->0) (sin(y)/y) = 1

Применяя этот факт, мы получаем:

Lim(x->0) (2sin((m + n)x/2)sin((m - n)x/2)/x^2) = (m + n)(m - n)/2 * 1^2 * 1^2 = (m + n)(m - n)/2

Таким образом, ответ на данный вопрос равен (m + n)(m - n)/2.