Question

На параболе у^2=32x взяты две точки М1 и М2, расстояния которых до фокуса этой параболы равны 10. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок М1 М2.

Answer 1

Y^2=32*x   y^2=2px  F(p/2; 0) - фокус параболы 
                                 F(8; 0) - фокус данной параболы
| FM1| = |FM2| = x+p/2;   10=x+8;    x=2  ;
   y^2=32*2=64;  y(M1)=8 y(M2)=-8
M1(2;8)  M2(2; -8);     R заданной окружности = 8;

Уравнение заданной окружности:
y^2+(x-2)^2=64

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство параболы, что расстояние от фокуса до точки на параболе равно половине фокусного расстояния.

Нахождение координат фокуса параболы:

Уравнение параболы дано в виде у^2 = 32x. Сравнивая это уравнение с общим уравнением параболы y^2 = 4ax, мы видим, что у нас a = 8.

Фокусное расстояние для параболы равно a/2, поэтому фокусное расстояние для данной параболы равно 4.

Так как парабола симметрична относительно оси x, фокус будет находиться на оси x, поэтому его координаты будут (4, 0).

Нахождение координат точек М1 и М2:

Расстояние от точки до фокуса параболы равно половине фокусного расстояния. В данной задаче расстояние от М1 до фокуса равно 10, поэтому расстояние от М1 до фокуса равно половине фокусного расстояния.

Мы знаем, что фокусное расстояние равно 4, поэтому половина фокусного расстояния равна 2. Следовательно, расстояние от М1 до фокуса равно 10, и мы можем записать уравнение:

2 = 10.

Аналогично для точки М2, расстояние от М2 до фокуса также равно 10:

2 = 10.

Составление уравнения окружности:

Мы знаем, что диаметр окружности является отрезком М1М2. Так как координаты М1 и М2 неизвестны, пусть М1 имеет координаты (x1, y1), а М2 имеет координаты (x2, y2).

Тогда длина отрезка М1М2 будет равна:

М1М2 = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Так как М1М2 является диаметром окружности, его длина будет равна диаметру окружности. Поэтому мы можем составить уравнение окружности:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Так как М1М2 является диаметром окружности, длина отрезка М1М2 равна 2r, где r - радиус окружности. Поэтому, чтобы найти радиус окружности, мы можем поделить длину отрезка М1М2 на 2:

r = М1М2 / 2.

Таким образом, уравнение окружности будет выглядеть следующим образом:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = (М1М2 / 2)^2.

Остается только найти координаты центра окружности (h, k).

Нахождение координат центра окружности:

Так как парабола симметрична относительно оси x, то М1 и М2 будут иметь одинаковые y-координаты, и центр окружности будет находиться на оси x. Поэтому координата k будет равна 0.

Теперь нам нужно найти координату h. Расстояние от центра окружности до фокуса равно половине фокусного расстояния. В данной задаче фокусное расстояние равно 4, поэтому половина фокусного расстояния равна 2. Следовательно, расстояние от центра окружности до фокуса равно 2.

Так как фокус находится на оси x и имеет координату (4, 0), то координата h будет равна 4.

Окончательное уравнение окружности:

Итак, мы нашли координаты центра окружности: (h, k) = (4, 0), и радиус окружности: r = М1М2 / 2.

Таким образом, окончательное уравнение окружности будет выглядеть следующим образом:

(x - 4)^2 + (y - 0)^2 = (М1М2 / 2)^2.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.