Question

Все рёбра правильной треугольной пирамиды равны между собой . найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания

Answer 1

Апофему боковой грани и высоту основания находим по одной формуле,т.к. все рёбра пирамиды одинаковые.

Answer 2

Для нахождения косинуса угла между боковой гранью правильной треугольной пирамиды и плоскостью её основания, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами. Рассмотрим пирамиду, у которой основание представляет собой правильный треугольник, а боковые грани — треугольные.

Пусть \(ABCD\) — вершина пирамиды, а \(EFG\) — её основание, где \(E\), \(F\), \(G\) — вершины треугольника основания. Предположим, что центр основания пирамиды совпадает с её вершиной, и радиус окружности, вписанной в треугольник \(EFG\), равен \(r\).

Посмотрим на боковую грань пирамиды, образованную вершиной \(A\) и точками \(E\), \(F\), \(G\). Мы можем соединить вершину \(A\) с центром окружности в основании, обозначим его как \(O\). Получим треугольник \(AOE\).

Так как пирамида правильная, длины боковых граней одинаковы, и треугольник \(AOE\) является равнобедренным. Также, по построению, треугольник \(EOG\) — равносторонний.

Теперь обратим внимание на угол между боковой гранью \(AEO\) и плоскостью основания \(EFG\). Этот угол обозначим как \(\theta\).

Косинус угла \(\theta\) можно найти с использованием косинуса угла в равнобедренном треугольнике \(AOE\). Косинус угла \(\theta\) равен отношению прилежащего катета (отрезка \(OE\)) к гипотенузе (отрезку \(OA\)):

\[ \cos(\theta) = \frac{OE}{OA} = \frac{r}{r} = 1 \]

Таким образом, косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 1.