Question

Докажите тождество 1+tg^2a+1/sin^2a=1/sin^2a*cos^2a

Answer 1

1+tg²a+1/sin²a=1/cos²a+1/sin²a=(sin²a+cos²a)sin²acos²a=1/sin²acos²a
1/sin²acos²a=1/sin²acos²a

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций:

Начнем с левой стороны тождества: 1 + tg^2(a) + 1 / sin^2(a)

Рассмотрим первое слагаемое 1 + tg^2(a) и воспользуемся определением тангенса: tg^2(a) = sin^2(a) / cos^2(a)

Теперь заменим tg^2(a) в исходном выражении: 1 + sin^2(a) / cos^2(a) + 1 / sin^2(a)

Общий знаменатель для слагаемых в числителях можно найти, перемножив знаменатели: 1 + (sin^2(a) * sin^2(a) + cos^2(a)) / (cos^2(a) * sin^2(a))

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: 1 + (sin^4(a) + cos^2(a)) / (cos^2(a) * sin^2(a))

Теперь воспользуемся тождеством sin^2(a) + cos^2(a) = 1: 1 + (1 - cos^2(a) + cos^2(a)) / (cos^2(a) * sin^2(a))

Упростим выражение: 1 + 1 / (cos^2(a) * sin^2(a))

Теперь воспользуемся определением cos^2(a) = 1 - sin^2(a): 1 + 1 / ((1 - sin^2(a)) * sin^2(a))

Раскроем скобки в знаменателе: 1 + 1 / (sin^2(a) - sin^4(a))

Используем тождество a^2 - b^2 = (a + b)(a - b): 1 + 1 / (sin^2(a)(1 - sin^2(a)))

Теперь воспользуемся тождеством 1 - sin^2(a) = cos^2(a): 1 + 1 / (sin^2(a) * cos^2(a))

Получаем правую сторону исходного тождества: 1 / (sin^2(a) * cos^2(a))

Таким образом, мы доказали, что левая сторона и правая сторона тождества равны, что подтверждает данное тождество: 1 + tg^2(a) + 1 / sin^2(a) = 1 / (sin^2(a) * cos^2(a))