Question

Помоги решить и расписать решение! log_2(x-2)+log_2(x)=0,5log_3(9)

Answer 1

$log_2(x-2)+log_2x=0,5log_39\; ;\quad ODZ:\; \left \{ {{x-2\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 0}} \right. \; \to \; x\ \textgreater \ 2\\\\log_2x(x-2)=\frac{1}{2}\cdot log_33^2\\\\log_2x(x-2)=\frac{1}{2}\cdot 2\\\\log_2x(x-2)=1\\\\x^2-2x=2\\\\x^2-2x-2=0\\\\D/4=1+2=3\\\\x_1=1-\sqrt3\ \textless \ 2\; ,\\\\ x_2=1+\sqrt3\ \textgreater \ 2\\\\Otvet:\; \; x=1+\sqrt3\; .$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы будем использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте посмотрим на каждую часть уравнения по отдельности и найдем значения переменной x.

У нас есть уравнение:

log_2(x-2) + log_2(x) = 0.5log_3(9)

Шаг 1: Упрощение логарифмов

Используя свойство логарифмов log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy), мы можем объединить два логарифма слева от равенства:

log_2((x-2)x) = 0.5log_3(9)

Шаг 2: Перепишем логарифм справа

Используя свойство логарифма log_a(b^c) = clog_a(b), мы можем переписать логарифм справа:

log_2((x-2)x) = log_3(9^(0.5))

Шаг 3: Упростим правую часть уравнения

Раскроем степень 0.5:

log_2((x-2)x) = log_3(3)

Шаг 4: Равенство логарифмов

Используя свойство равенства логарифмов log_a(b) = log_a(c), мы можем сказать, что:

(x-2)x = 3

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Раскроем скобки слева:

x^2 - 2x = 3

Шаг 6: Перенесем все в одну сторону

Получим квадратное уравнение:

x^2 - 2x - 3 = 0

Шаг 7: Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня. Для этого рассмотрим уравнение вида:

x^2 + bx + c = 0

где b = -2 и c = -3.

Мы ищем два числа, которые в сумме дают -2 и в произведении дают -3. Такие числа -1 и 3.

(x - 3)(x + 1) = 0

Шаг 8: Найти значения x

Присвоим каждому множителю значение 0 и найдем значения x:

x - 3 = 0 --> x = 3 x + 1 = 0 --> x = -1

Ответ

Уравнение log_2(x-2) + log_2(x) = 0.5log_3(9) имеет два решения: x = 3 и x = -1.