Question

Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

Answer 1

Квадрат целого числа может давать только остатки 0 и 1 при делении на 4 (Квадраты чисел, дающих остатки 0 или 2 при делении на 4, дают остаток 0, а чисел, дающих остатки 1 или 3 - 1)

Квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 4. Значит сумма квадратов двух нечетных чисел дает остаток 2 при делении на 4.

Квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 4 (выше показано, что возможны лишь остатки 0 и 1)

Ответ: нет, не может

Answer 2

Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

Да, сумма квадратов двух нечетных чисел может быть квадратом целого числа. Давайте рассмотрим это подробнее.

Пусть у нас есть два нечетных числа, обозначим их как a и b. Мы хотим узнать, может ли сумма их квадратов быть квадратом целого числа.

Мы можем записать a и b в виде a = 2n + 1 и b = 2m + 1, где n и m - целые числа.

Тогда сумма их квадратов будет:

a^2 + b^2 = (2n + 1)^2 + (2m + 1)^2

Раскроем скобки:

a^2 + b^2 = 4n^2 + 4n + 1 + 4m^2 + 4m + 1

Упростим выражение:

a^2 + b^2 = 4(n^2 + n + m^2 + m) + 2

Мы видим, что сумма квадратов a и b имеет вид 4k + 2, где k = n^2 + n + m^2 + m.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения k. Если k четное, то 4k + 2 также будет четным числом. Однако, если k нечетное, то 4k + 2 будет квадратом целого числа.

Таким образом, сумма квадратов двух нечетных чисел может быть квадратом целого числа, если значение k нечетное.

Пример:

Пусть a = 3 и b = 5. Тогда:

a^2 + b^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34

Здесь k = 8, что является четным числом, поэтому 34 не является квадратом целого числа.

Вывод:

Сумма квадратов двух нечетных чисел может быть квадратом целого числа, если значение k, определенное выше, является нечетным числом.