Question

Линейное дифферицальное уравнение первого порядка: ху'-х2+2у=0

Answer 1

Смотри во вложении.

Answer 2

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

у' + P(x)у = Q(x),

где P(x) и Q(x) - заданные функции, а у' обозначает производную функции у(x) по переменной x.

В данном случае уравнение имеет вид:

ху' - х^2 + 2у = 0.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Этот метод позволяет привести уравнение к виду, где его можно проинтегрировать.

Использование метода интегрирующего множителя

1. Проверяем, является ли уравнение линейным. В данном случае, уравнение является линейным, так как производная функции у(x) и сама функция у(x) входят только линейно.

2. Найдем интегрирующий множитель μ(x), умножив уравнение на μ(x):

μ(x) * (ху' - х^2 + 2у) = 0.

3. Интегрирующий множитель μ(x) выбирается таким образом, чтобы уравнение стало полным дифференциалом. В данном случае, мы можем выбрать μ(x) = exp(∫P(x)dx), где P(x) - коэффициент при производной.

Таким образом, μ(x) = exp(∫xdx) = exp(x^2/2).

4. Умножаем уравнение на интегрирующий множитель:

exp(x^2/2) * (ху' - х^2 + 2у) = 0.

5. Производим интегрирование обоих частей уравнения:

exp(x^2/2) * ху - exp(x^2/2) * x^2 + 2 * exp(x^2/2) * у = C,

где C - произвольная постоянная.

6. Таким образом, мы получили общее решение исходного уравнения:

exp(x^2/2) * ху - exp(x^2/2) * x^2 + 2 * exp(x^2/2) * у = C.

Также, можно записать это решение в виде:

у = exp(-x^2/2) * (C + x^2 - ху')/2.

Здесь мы выразили у в явном виде.

Таким образом, мы получили общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка ху' - х^2 + 2у = 0 с использованием метода интегрирующего множителя.