Question

Найти все натуральные значения а, при которых: а/12 и 7/а будут правильными

Answer 1

А/12, при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
7/а, при а = 8, 9, 10, 11, 12 , 13, 14, 15 и т. д.

Answer 2

Чтобы найти все натуральные значения \( a \), при которых \(\frac{a}{12}\) и \(\frac{7}{a}\) будут правильными дробями, давайте рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Дробь \(\frac{a}{12}\) будет правильной, если числитель \( a \) делится на 12 без остатка и \( a \neq 0 \). Таким образом, условие для \(\frac{a}{12}\) будет:

\[ a \mod 12 = 0 \quad \text{и} \quad a \neq 0 \]

2. Дробь \(\frac{7}{a}\) будет правильной, если \( a \) делится на 7 без остатка и \( a \neq 0 \). Условие для \(\frac{7}{a}\) будет:

\[ a \mod 7 = 0 \quad \text{и} \quad a \neq 0 \]

Теперь найдем общие значения \( a \), которые удовлетворяют обоим условиям. Это будут такие натуральные числа \( a \), которые делятся и на 12, и на 7.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 12 и 7. Факторизуем числа:

\[ 12 = 2^2 \times 3 \] \[ 7 = 7 \]

НОК будет равно произведению максимальных степеней простых чисел:

\[ НОК(12, 7) = 2^2 \times 3 \times 7 = 84 \]

Таким образом, все натуральные значения \( a \), при которых обе дроби \(\frac{a}{12}\) и \(\frac{7}{a}\) будут правильными, равны множеству делителей числа 84. Это множество включает числа 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 и 84.