Question

В прямоугольном треугольнике катет лежащий против угла 60 градусов , равен . найдите площадь треугольника

Answer 1

ΔABC,<C=90,<A=60,BC=$2 \sqrt[4]{3}$
AC=BC/tgA=$2 \sqrt[4]{3} / \sqrt{3} =2/ \sqrt[4]{3}$
S=1/2*AC*BC=$1/2*2/ \sqrt[4]{3} *2 \sqrt[4]{3} =2$

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, где один из углов равен 60 градусам. Пусть катет, лежащий против этого угла, обозначается как \(a\), а другие два стороны (катеты) обозначим как \(b\) и \(c\), где \(b\) - катет, прилежащий к углу 60 градусов, а \(c\) - гипотенуза.

Так как у нас прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения. В частности, для угла 60 градусов в прямоугольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

\[\tan(60^\circ) = \frac{a}{b}\]

Также, учитывая, что \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), мы можем записать:

\[a = \sqrt{3}b\]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нашего треугольника:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Подставим выражение для \(a\):

\[c^2 = (\sqrt{3}b)^2 + b^2\] \[c^2 = 3b^2 + b^2\] \[c^2 = 4b^2\]

Теперь найдем выражение для \(c\):

\[c = 2b\]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a\]

Подставим значение \(a\) в терминах \(b\):

\[S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \sqrt{3}b\] \[S = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot b^2\]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника, где катет, лежащий против угла 60 градусов, равен \(\sqrt{3}\) раз длине прилежащего катета, равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) площади квадрата, построенного на прилежащем катете.