Question

Решите уравнение 3sin2x-4cosx+3sinx-2=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку пи на 2 и 3 пи на 2

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Дано уравнение: 3sin(2x) - 4cos(x) + 3sin(x) - 2 = 0.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать тригонометрические тождества и преобразования. Давайте начнем с приведения подобных тригонометрических членов:

3sin(2x) + 3sin(x) - 4cos(x) - 2 = 0

Заметим, что sin(x) можно представить как sin(2x - x), а cos(x) можно представить как cos(2x - x). Применим эти замены:

3sin(2x) + 3sin(2x - x) - 4cos(2x - x) - 2 = 0

Теперь воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса:

3sin(2x) + 3(sin(2x)cos(x) - cos(2x)sin(x)) - 4(cos(2x)cos(x) + sin(2x)sin(x)) - 2 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

6sin(2x)cos(x) - 3cos(2x)sin(x) - 4cos(2x)cos(x) - 4sin(2x)sin(x) - 2 = 0

Упростим выражение:

(6cos(x) - 4cos(2x))sin(2x) + (-3sin(x) - 4sin(2x))cos(x) - 2 = 0

Теперь можем представить sin(2x) и cos(2x) через sin(x) и cos(x) с помощью тригонометрических тождеств:

(6cos(x) - 4(1 - 2sin^2(x)))sin(2x) + (-3sin(x) - 4(1 - sin^2(x)))cos(x) - 2 = 0

Упростим дальше:

(6cos(x) - 4 + 8sin^2(x))sin(2x) + (-3sin(x) - 4 + 4sin^2(x))cos(x) - 2 = 0

Теперь можем заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x) и упростить уравнение:

(6cos(x) - 4 + 8sin^2(x))(2sin(x)cos(x)) + (-3sin(x) - 4 + 4sin^2(x))cos(x) - 2 = 0

Умножим каждый член уравнения на 2:

(12cos(x) - 8 + 16sin^2(x))sin(x)cos(x) + (-6sin(x) - 8 + 8sin^2(x))cos(x) - 4 = 0

Раскроем скобки:

12cos^2(x)sin(x) - 8sin(x) + 16sin^3(x)cos(x) - 6sin(x)cos(x) - 8cos(x) + 8sin^2(x)cos(x) - 4 = 0

Сгруппируем члены:

(12cos^2(x)sin(x) - 6sin(x)cos(x)) + (16sin^3(x)cos(x) + 8sin^2(x)cos(x)) + (-8sin(x) - 8cos(x)) - 4 = 0

Упростим:

6sin(x)cos(x)(2cos(x) - 1) + 8sin^2(x)cos(x)(2sin(x) + 1) + (-8sin(x) - 8cos(x)) - 4 = 0

Далее, воспользуемся формулой двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Заменим sin(2x) и упростим:

12sin(x)cos(x)(2cos(x) - 1) + 8sin^2(x)cos(x)(2sin(x) + 1) + (-8sin(x) - 8cos(x)) - 4 = 0

Теперь можем заметить, что у нас есть несколько подобных членов. Сгруппируем их:

(24sin^2(x)cos^2(x) + 16sin^3(x)cos(x)) + (24sin^2(x)cos^2(x) - 12sin(x)cos^2(x)) + (16sin^3(x)cos(x) + 8sin^2(x)cos(x)) + (-8sin(x) - 8cos(x)) - 4 = 0

Упростим:

48sin^2(x)cos^2(x) + 16sin^3(x)cos(x) - 12sin(x)cos^2(x) + 16sin^3(x)cos(x) + 8sin^2(x)cos(x) - 8sin(x) - 8cos(x) - 4 = 0

Сокращаем:

48sin^2(x)cos^2(x) + 32sin^3(x)cos(x) - 12sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) - 8cos(x) - 4 = 0

Теперь можем заметить, что у нас есть квадратичный член sin^2(x)cos^2(x). Заменим его с помощью формулы половинного угла:

sin^2(x)cos^2(x) = (1 - cos(2x))^2 / 4 = (1 - cos^2(2x) - 2cos(2x)) / 4 = (1 - (1 - 2sin^2(x)) - 2cos(2x)) / 4 = (2sin^2(x) - 2cos(2x) + 1) / 4

Заменим sin^2(x)cos^2(x) в уравнении и упростим:

48(2sin^2(x) - 2cos(2x) + 1) / 4 + 32sin^3(x)cos(x) - 12sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) - 8cos(x) - 4 = 0

12(2sin^2(x) - 2cos(2x) + 1) + 32sin^3(x)cos(x) - 12sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) - 8cos(x) - 4 = 0

Раскроем скобки и упростим:

24sin^2(x) - 24cos(2x) + 12 + 32sin^3(x)cos(x) - 12sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) - 8cos(x) - 4 = 0

Сгруппируем подобные члены:

24sin^2(x) + 32sin^3(x)cos(x) - 12sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) - 24cos(2x) - 8cos(x) + 8 = 0

24sin^2(x) + 32sin^3(x)cos(x) - 12sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) - 8cos(x) - 24cos(2x) + 8 = 0

Упростим:

24sin^2(x) + 32sin^3(x)cos(x) - 12sin(x)cos^2(x) - 8sin(x) - 8cos(x) - 24cos(2x) + 8 = 0

Теперь мы получили уравнение, которое можно решить численно или графически. Но чтобы найти корни, принадлежащие отрезку [π/2, 3π/2], нам понадобится использовать численные методы решения уравнений.

Используя программу или калькулятор, мы можем численно найти приближенные значения корней на указанном отрезке.