Question

Задано 2 комплексных числа z1 и z2. а) найти z1+z2; z1-z2; z1*z2; z1/z2; б) записать число z1 в тригонометрической и показательной формах. z1=√3-i; z2= 3-4i

Answer 1

а)z1= 2-5i
z2= 3+4i
---
при сложении-вычитании просто приводим подобные члены - реальную часть к реальной, мнимую к мнимой
Z1+Z2=  2-5i + 3+4i = (2+3) + (-5+4)i = 5 - i 
Z1-Z2= 2-5i - (3+4i) = (2-3) + (-5-4)i = -1 - 9i 
при умножении храним i так же, как какую-то переменную в любом другом алгебраическом выражении, за одним исключеним, i*i = -1
раскрываем скобки
Z1*Z2 = (2-5i)*(3+4i) = 2*3 + 2*4i - 5i*3 - 5i*4i = 6 + 8i -15i -20i^2 = 6 - 7i + 20 = 26 - 7i 
С делением сложнее. Деление - операция обратная умножению. при делении домножаем числитель и знаменатель на число, комплексно сопряжённое знаменателю. В итоге в знаменателе остаётся реальное число, а в числителе получается умножение, уже знакомое по прошлому пункту.
я тут несколько сокращаю умножение
Z1/Z2 = (2-5i)/(3+4i) = ((2-5i)*(3-4i))/((3+4i)*(3-4i)) =  (-14-23i)/25 = -14/25 - 23/25i

Answer 2

Вычисление суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел

Для решения данной задачи, нам даны два комплексных числа: z1 = √3 - i и z2 = 3 - 4i. Мы должны найти сумму z1 + z2, разность z1 - z2, произведение z1 * z2 и частное z1 / z2.

a) Нахождение суммы, разности, произведения и частного:

Сумма двух комплексных чисел z1 и z2 вычисляется путем сложения их действительных и мнимых частей по отдельности. То есть:

z1 + z2 = (Re(z1) + Re(z2)) + (Im(z1) + Im(z2))i

В нашем случае, у нас есть:

z1 + z2 = (√3 + 3) + (-1 - 4)i = (3 + √3) - 5i

Разность двух комплексных чисел z1 и z2 вычисляется путем вычитания их действительных и мнимых частей по отдельности. То есть:

z1 - z2 = (Re(z1) - Re(z2)) + (Im(z1) - Im(z2))i

В нашем случае, у нас есть:

z1 - z2 = (√3 - 3) + (-1 + 4)i = (√3 - 3) + 3i

Произведение двух комплексных чисел z1 и z2 вычисляется с использованием формулы распределительного закона. То есть:

z1 * z2 = (Re(z1) * Re(z2) - Im(z1) * Im(z2)) + (Re(z1) * Im(z2) + Im(z1) * Re(z2))i

В нашем случае, у нас есть:

z1 * z2 = (√3 * 3 - (-1) * (-4)) + (√3 * (-4) + (-1) * 3)i = (3√3 + 4 + 3)i = (3√3 + 4) + 3i

Частное двух комплексных чисел z1 и z2 вычисляется путем деления их с использованием формулы деления комплексных чисел. То есть:

z1 / z2 = ((Re(z1) * Re(z2) + Im(z1) * Im(z2)) / (Re(z2)^2 + Im(z2)^2)) + ((Im(z1) * Re(z2) - Re(z1) * Im(z2)) / (Re(z2)^2 + Im(z2)^2))i

В нашем случае, у нас есть:

z1 / z2 = ((√3 * 3 + (-1) * (-4)) / (3^2 + (-4)^2)) + ((-1 * 3 - √3 * (-4)) / (3^2 + (-4)^2))i = ((3√3 + 4) / 25) + ((-3 - 4√3) / 25)i

b) Запись числа z1 в тригонометрической и показательной формах:

Тригонометрическая форма комплексного числа представляет его в виде модуля и аргумента. Модуль можно найти так:

|z1| = √(Re(z1)^2 + Im(z1)^2)

Аргумент можно найти так:

arg(z1) = arctan(Im(z1) / Re(z1))

В нашем случае, у нас есть:

|z1| = √((√3)^2 + (-1)^2) = √(3 + 1) = 2

arg(z1) = arctan((-1) / √3)

Показательная форма комплексного числа представляет его в виде модуля, умноженного на экспоненту вида e^(i * arg(z1)). То есть:

z1 = |z1| * e^(i * arg(z1))

В нашем случае, у нас есть:

z1 = 2 * e^(i * arctan((-1) / √3))

Таким образом, число z1 можно записать в тригонометрической форме как |z1| * (cos(arg(z1)) + sin(arg(z1))i) и в показательной форме как |z1| * e^(i * arg(z1)).

Ответ:

а) z1 + z2 = (3 + √3) - 5i z1 - z2 = (√3 - 3) + 3i z1 * z2 = (3√3 + 4) + 3i z1 / z2 = ((3√3 + 4) / 25) + ((-3 - 4√3) / 25)i

б) z1 в тригонометрической форме: 2 * (cos(arctan((-1) / √3))) + sin(arctan((-1) / √3)))i z1 в показательной форме: 2 * e^(i * arctan((-1) / √3))