Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра SA. Найдите квадрат тангенса между прямыми SD и BF

Answer 1

Примем длины рёбер основания пирамиды за 1.
Высота пирамиды равна √2 (по заданию равна диагонали основания).
Поместим пирамиду в начало координат вершиной В.
Координаты точек:
А(1,0,0) В(0,0,0) С (0,1,0) D(1,1,0) S(0.5;0.5;√2).
Координата точки F(0.75;0.25;√2/2).
Тогда вектор BF={xF-xB, yF-yB, zF-zB} (0.75 0.25 0.707107)
Вектор SD={xS-xD, yS-yD, zS-zD}( -0.5 -0.5 1.414214).
Угол между векторами определяется по формуле:
α = arc cos |x₁*x₂+y₂+z₁*z₂| / (√(x₁²+y₁+z₁²)*√(x₂²+y₂²+z₂²)).
Подставив данные, получаем:
α (BF-SD) = arc cos 0.298142 = 1.26805 радиан = 72.65393°.
 tg α =  3.201562   tg²α = 10.25

Answer 2

Пусть сторона основания четырехугольной пирамиды SABCD равна а, а высота и диагональ основания равны h.

Так как точка F лежит на середине ребра SA, то SF = FA = a/2.

Обозначим точку пересечения прямых SD и BF как O.

Так как высота равна диагонали основания, то треугольник SDC является равнобедренным, и SD = SC.

Также, так как точка F лежит на середине ребра SA, то треугольник SFA является прямоугольным, и угол SFA прямой.

Из прямоугольного треугольника SFA можно найти значение тангенса угла SFA:

tg(SFA) = FA / SA = (a/2) / h.

Теперь рассмотрим треугольник BFO.

Так как точка F лежит на середине ребра SA, то OF = SF = a/2.

Также, так как треугольник SDC равнобедренный, то угол SDC равен углу SCD.

Так как треугольник BFO является прямоугольным, то угол BFO равен сумме углов SDC и SFA.

Таким образом, угол BFO равен 2 углу SDC.

Из треугольника BFO можно найти значение тангенса угла BFO:

tg(BFO) = OF / BF = (a/2) / BF.

Так как угол BFO равен 2 углу SDC, то тангенс угла SDC равен половине тангенса угла BFO:

tg(SDC) = tg(BFO) / 2 = [(a/2) / BF] / 2 = (a / 4BF).

Таким образом, квадрат тангенса между прямыми SD и BF равен (a^2) / (16BF^2).