Question

1) В лифт 9-этажного дома на первом этаже зашли 6 человек. Найти вероятность того, что все выдут на разных этажах, если каждый с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. 2) Cколькими способами можно разделить группу из 17 человек на две группы чтобы в одной было 5 человек , а в другой 12 ?

Answer 1

1) 
В лифт 9-этажного дома на первом этаже зашли 6 человек. Найти вероятность того, что все выдут на разных этажах, если каждый с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго.

Рассуждаем так. Чтобы пассажиры вышли на разных этажах нужно лифту остановится 6 раз на любом  из 8  этажей. (на 2,3,4,5,6,7,8,9)  Тогда общее число исходов событий
 $\displaystyle 8^6=262144$

теперь каждый может выйти только на одном этаже.. при этом второй уже этот этаж должен проехать
Значит число возможных исходов
8*7*6*5*4*3=20160

тогда вероятность 20160/262144= 0,0769

2) 
сколькими способами можно разделить группу из 17 человек на две группы чтобы в одной было 5 человек , а в другой 12 ?

Тут все проще.. Если мы выберем группу из 5 человек то остальные попадут во вторую группу.. Значит достаточно просто посчитать количество возможных способов выбрать группу 5 человек из 17

$\displaystyle C_{17}^5= \frac{17!}{5!*12!}= \frac{13*14*15*16*17}{2*3*4*5}= 6188$

Answer 2

1) Вероятность того, что все 6 человек выйдут на разных этажах, можно вычислить следующим образом. Первый человек может выбрать любой из 8 этажей (все, кроме первого). Второй человек - любой из оставшихся 7 этажей, третий - любой из 6, и так далее. Поскольку каждый из них может выбрать этаж с одинаковой вероятностью, мы умножаем вероятности каждого этапа:

\[P = \frac{8}{8} \times \frac{7}{8} \times \frac{6}{8} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{8!}{2^8 \cdot 2!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{2^8}.\]

2) Чтобы разделить группу из 17 человек на две группы (5 и 12 человек), мы можем использовать биномиальный коэффициент, который обозначается как \(C(n, k)\) и равен количеству способов выбрать k элементов из n. Формула для биномиального коэффициента:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

В данном случае, мы ищем количество способов выбрать 5 человек из 17, и оставить остальных 12 во второй группе:

\[C(17, 5) = \frac{17!}{5!(17-5)!} = \frac{17!}{5! \cdot 12!}.\]