Question

Найти производную y= sin t cos t; v= 1-cos t/1+cos t; y=tg^2 x.

Answer 1

$1)\; \; y=sinx\, cosx=\frac{1}{2}sin2x\\\\y'=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot cos2x=cos2x\\\\2)\; \; y= \frac{1-cost}{1+cost} = \frac{2sin^2\frac{t}{2}}{2cos^2\frac{t}{2}} =tg^2\frac{t}{2}\\\\y'=2\cdot tg \frac{t}{2}\cdot \frac{1}{cos^2 \frac{t}{2} } \cdot \frac{1}{2}=tg\frac{t}{2}\cdot \frac{1}{cos^2\frac{t}{2}}=\frac{sin\frac{t}{2}}{cos^3\frac{t}{2}} \\\\3)\; \; y=tg^2x=2\cdot tgx\cdot \frac{1}{cos^2x} = \frac{2\, sinx}{cos^3x}$

Answer 2

Я могу помочь вам найти производные функций, которые вы указали. Вот мои ответы:

- Для функции y = sin t cos t, производная по t равна y' = sin^2 t - cos^2 t, используя правило произведения. - Для функции v = 1 - cos t / 1 + cos t, производная по t равна v' = 2 sin t / (1 + cos t)^2, используя правило частного. - Для функции y = tg^2 x, производная по x равна y' = 2 tg x / cos^2 x, используя правило цепочки.

Надеюсь, это было полезно для вас. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спросите меня.

: [Правило произведения] : [Правило частного] : [Правило цепочки]

Answer 3

1) Найдем производную функции y = sin(t) + cos(t) по переменной t.

Используем формулу производной суммы функций: (dy/dt) = (d(sin(t))/dt) + (d(cos(t))/dt)

(d(sin(t))/dt) = cos(t) (по формуле производной синуса) (d(cos(t))/dt) = -sin(t) (по формуле производной косинуса)

Подставляем значения: (dy/dt) = cos(t) - sin(t)

2) Найдем производную функции v = (1 - cos(t))/(1 + cos(t)) по переменной t.

Используем формулу производной частного функций: (dv/dt) = [(d(1 - cos(t))/dt)(1 + cos(t)) - (1 - cos(t))(d(1 + cos(t))/dt)] / (1 + cos(t))^2

(d(1 - cos(t))/dt) = sin(t) (по формуле производной косинуса) (d(1 + cos(t))/dt) = -sin(t) (по формуле производной косинуса)

Подставляем значения: (dv/dt) = [(sin(t))(1 + cos(t)) - (1 - cos(t))(-sin(t))] / (1 + cos(t))^2 = (sin(t) + sin(t)cos(t) + sin(t) - sin(t)cos(t)) / (1 + cos(t))^2 = 2sin(t) / (1 + cos(t))^2

3) Найдем производную функции y = tg^2(x) по переменной x.

Используем формулу производной квадрата функции: (dy/dx) = 2tg(x) * (d(tg(x))/dx)

(d(tg(x))/dx) = sec^2(x) (по формуле производной тангенса)

Подставляем значения: (dy/dx) = 2tg(x) * sec^2(x)

Таким образом, производные функций y = sin(t) + cos(t), v = (1 - cos(t))/(1 + cos(t)), y = tg^2(x) равны соответственно: (dy/dt) = cos(t) - sin(t) (dv/dt) = 2sin(t) / (1 + cos(t))^2 (dy/dx) = 2tg(x) * sec^2(x)