Question

При каких значениях m вершины парабол y=x^2+4mx+2m и y=-x^2+2mx+4 расположены по одну сторону от оси х?

Answer 1

Чтобы вершины парабол y=x^2+4mx+2m и y=-x^2+2mx+4 были расположены по одну сторону от оси х должно выполняться условие:
дискриминант одной из парабол должен быть больше нуля, а второй - меньше нуля.

Рассмотрим дискриминант второй параболы: Д = в² - 4ас.
Д₂ = 4m²-4*(-1)*4 = 4m²+16. Этот дискриминант положителен при любом значении m.

Поэтому дискриминант первой параболы:
Д₁ = 16m²-4*1*2m =16m²-8m  < 0.

Графически - это часть параболы, расположенной ниже оси Х.
Находим точки пересечения оси Х:
8m(2m-1) = 0.
m = 0,   m = 1/2.

Ответ: 0 < m < 1/2.

Answer 2

Уравнение параболы обычно имеет вид \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - константы. Однако в данном случае у вас даны два уравнения:

1. \(y = x^2 + 4mx + 2m\) 2. \(y = -x^2 + 2mx + 4\)

Исходя из общей формы уравнения параболы \(y = ax^2 + bx + c\), можно выделить следующие коэффициенты:

1. Для первого уравнения: - \(a = 1\) - \(b = 4m\) - \(c = 2m\)

2. Для второго уравнения: - \(a = -1\) - \(b = 2m\) - \(c = 4\)

Чтобы определить, когда вершины этих парабол расположены по одну сторону от оси \(x\), нужно рассмотреть значение коэффициента \(a\) для каждого уравнения.

Для первого уравнения (\(y = x^2 + 4mx + 2m\)) \(a\) равно 1, что означает, что парабола открывается вверх.

Для второго уравнения (\(y = -x^2 + 2mx + 4\)) \(a\) равно -1, что означает, что парабола открывается вниз.

Теперь давайте рассмотрим условия, при которых вершины обеих парабол будут находиться по одну сторону от оси \(x\). Вершина параболы открывающейся вверх находится выше оси \(x\), а вершина параболы открывающейся вниз находится ниже оси \(x\).

Итак, чтобы обе вершины были по одну сторону от оси \(x\), нужно, чтобы обе параболы открывались вверх или обе вниз.

1. Обе параболы открываются вверх (\(a > 0\)): \(1 > 0\) (первое уравнение) и \(-1 > 0\) (второе уравнение). Это условие выполняется при любых значениях \(m\).

2. Обе параболы открываются вниз (\(a < 0\)): \(1 < 0\) (первое уравнение) и \(-1 < 0\) (второе уравнение). Это условие также выполняется при любых значениях \(m\).

Таким образом, при любых значениях \(m\) вершины обеих парабол будут расположены по одну сторону от оси \(x\).