Question

8x^3-6x-1=0 решить уравнение по формуле кардано

Answer 1

Представим это уравнение в виде:
$x^3+0\cdotx^2-0.75x-0.125=0$ - разделили на 8

$Q= \frac{a^2-3b}{9} = \frac{0^2+3\cdot0.75}{9} =0.25\\ \\ R= \frac{2a^3-9ab+27c}{54} = \frac{2\cdot0^3+9\cdot0\cdot0.75-27\cdot0.125}{54} =-0.062$

т. к. $R^2\ \textless \ Q^3$ отсюда следует, что по методу Виета-Кардано, уравнение имеет три действительных корня

$\phi=\arccos( \frac{R}{ \sqrt[]{Q^3} } )/3=0.698$

Вычисляем корни

$x_1=-2 \sqrt{Q} \cdot \cos\phi-a/3=-0.766\\ \\ x_2=-2 \sqrt{Q}\cos(\phi+ \frac{2\pi}{3})-a/3=0.94\\ \\ x_2=-2 \sqrt{Q}\cos (\phi - \frac{2\pi}{3})-a/3=-0.174$

Answer 2

Чтобы решить уравнение 8x^3 - 6x - 1 = 0 с использованием формулы Кардано, нам нужно выполнить несколько шагов. Формула Кардано применяется для решения кубических уравнений. Давайте разберемся, как это сделать.

Шаг 1: Подготовка уравнения

Первым шагом является приведение уравнения к стандартному виду, где коэффициент перед x^3 равен 1. В нашем случае у нас уже есть стандартный вид уравнения, поэтому мы можем перейти к следующему шагу.

Шаг 2: Ввод замены

Введем новую переменную y, связанную с x следующим образом: x = y - b/(3a), где a и b - коэффициенты перед x^3 и x соответственно.

В нашем случае a = 8 и b = -6. Подставим эти значения и получим новую формулу: y = x + 6/24 = x + 1/4.

Шаг 3: Подстановка и сокращение

Теперь мы подставим новую переменную y в исходное уравнение и сократим его, чтобы получить кубическое уравнение относительно y.

8(x + 1/4)^3 - 6(x + 1/4) - 1 = 0

Раскроем скобки и упростим уравнение:

8(x^3 + 3/4*x^2 + 3/16*x + 1/64) - 6(x + 1/4) - 1 = 0 8x^3 + 6x^2 + 3/2*x + 1/8 - 6x - 3/2 - 1 = 0 8x^3 + 6x^2 - 6x + 1/8 - 3/2 - 1 = 0 8x^3 + 6x^2 - 6x - 15/8 = 0

Шаг 4: Решение кубического уравнения

Теперь мы можем решить полученное кубическое уравнение. Для этого воспользуемся формулой Кардано:

y = (q + √(q^2 + r^3))^(1/3) + (q - √(q^2 + r^3))^(1/3) - b/(3a)

где q = -(r/2) + (D/2)^(1/2), r = -(p/3)^3, и p, q, r - коэффициенты в уравнении y^3 + py^2 + qy + r = 0.

В нашем случае p = 6/8 = 3/4, q = -6/8 = -3/4, r = -15/8.

Шаг 5: Вычисление корней

Теперь мы можем вычислить значения y, используя формулу Кардано:

q = -(r/2) + (D/2)^(1/2) = -((-15/8)/2) + (-(3/4)/2)^(1/2) = 15/16 + (3/8)^(1/2)

Теперь найдем первую комплексную величину:

(15/16 + (3/8)^(1/2))^(1/3) = 0.5 + 0.5i

Теперь найдем вторую комплексную величину:

(-15/16 + (3/8)^(1/2))^(1/3) = 0.5 - 0.5i

Теперь мы можем вычислить значения y:

y1 = 0.5 + 0.5i - 3/(4*(0.5 + 0.5i)) = 0.5 + 0.5i - 3/(4 + 4i) = 0.5 + 0.5i - (3*(4 - 4i))/(4^2 - (4i)^2) = 0.5 + 0.5i - (12 - 12i)/(16 + 16) = 0.5 + 0.5i - (12 - 12i)/32 = 0.5 + 0.5i - (12/32 - 12i/32) = 0.5 + 0.5i - (3/8 - 3i/8) = 0.5 + 0.5i - 3/8 + 3i/8 = (0.5 - 3/8) + (0.5 + 3i/8)i = (4/8 - 3/8) + (0.5 + 3/8)i = 1/8 + (1/2 + 3/8)i = 1/8 + (4/8 + 3/8)i = 1/8 + 7/8i

y2 = 0.5 - 0.5i - 3/(4*(0.5 - 0.5i)) = 0.5 - 0.5i - 3/(4 - 4i) = 0.5 - 0.5i - (3*(4 + 4i))/(4^2 - (4i)^2) = 0.5 - 0.5i - (12 + 12i)/(16 + 16) = 0.5 - 0.5i - (12 + 12i)/32 = 0.5 - 0.5i - (12/32 + 12i/32) = 0.5 - 0.5i - 3/8 - 3i/8 = (0.5 - 3/8) - (0.5 - 3i/8)i = (4/8 - 3/8) - (0.5 - 3/8)i = 1/8 - (1/2 - 3/8)i = 1/8 - (4/8 - 3/8)i = 1/8 - 1/8i

Шаг 6: Вычисление корней x

Теперь мы можем вычислить значения x, используя обратную замену x = y - b/(3a):

x1 = y1 - 1/4 = 1/8 + 7/8i - 1/4 = -3/8 + 7/8i

x2 = y2 - 1/4 = 1/8 - 1/8i - 1/4 = -3/8 - 1/8i

Таким образом, уравнение 8x^3 - 6x - 1 = 0 имеет три корня: x1 = -3/8 + 7/8i, x2 = -3/8 - 1/8i, x3 = ???.