Question

Решите неравенство (1/3)^x<1/9

Answer 1

В правой части: (1/3)^2.
Получаем: (1/3)^x<(1/3)^2
X<2

Answer 2

Давайте решим неравенство \((\frac{1}{3})^x < \frac{1}{9}\).

Для начала, давайте приведем обе стороны неравенства к общему знаменателю, который равен \(9\):

\((\frac{1}{3})^x < \frac{1}{9}\)

Умножим обе стороны на \(9\):

\[9 \cdot (\frac{1}{3})^x < 1\]

Теперь упростим левую сторону. Заметим, что \(9 = 3^2\):

\[(3^2) \cdot (\frac{1}{3})^x < 1\]

Используем свойство степени с одинаковым основанием при умножении:

\[3^{2-x} < 1\]

Теперь нам нужно решить полученное неравенство. Рассмотрим два случая:

1. Если \(2 - x > 0\), то мы можем разделить обе стороны на \(3^{2-x}\) (помним, что степень 3 всегда положительна, поэтому мы можем безопасно делить):

\[1 < \frac{1}{3^{2-x}}\]

Теперь возведем обе стороны в степень \(-1\) (помним, что возводить в степень отрицательное число означает взятие обратного значения):

\[1 > 3^{2-x}\]

Теперь логарифмируем обе стороны по основанию 3:

\[\log_3{1} > 2 - x\]

Так как \(\log_3{1} = 0\), у нас остается:

\[0 > 2 - x\]

Отсюда получаем \(x > 2\).

2. Если \(2 - x < 0\), то мы можем разделить обе стороны на \(3^{2-x}\):

\[1 > \frac{1}{3^{2-x}}\]

И снова возведем обе стороны в степень \(-1\):

\[1 < 3^{2-x}\]

Логарифмируем обе стороны по основанию 3:

\[\log_3{1} < 2 - x\]

Поскольку \(\log_3{1} = 0\), у нас остается:

\[0 < 2 - x\]

Отсюда получаем \(x < 2\).

Таким образом, у нас два интервала для \(x\): \(x > 2\) и \(x < 2\). Следовательно, решение неравенства \((\frac{1}{3})^x < \frac{1}{9}\) - это множество всех \(x\), которые больше 2 или меньше 2.