Question

Помогите решите дифференциальное уравнение: (2х + 4у^2)dx + (8xy + 3y^3 + 1)dy = 0

Answer 1

Левая часть =
2xdx+3y^3dy+dy+(4y^2dx+8xydy)=
d(x^2)+d(3y^4/4)+dy+(y^2d(4x)+4xd(y^2)) (в скобках - дифференциал произведения 4xy^2)=
d(x^2+3y^4/4+y+4xy^2)=0; домножим на 4, чтобы не было дробей:
d(4x^2+3y^4+4y+16xy^2)=0⇒
4x^2+3y^4+4y+16xy^2=C - это ответ

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение:

\[ (2x + 4y^2)dx + (8xy + 3y^3 + 1)dy = 0 \]

Для начала проверим, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах. Для этого проверим, равен ли частный производный по \(y\) от коэффициента при \(dx\) частному производному по \(x\) от коэффициента при \(dy\). Если это так, уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и мы можем его решить.

\[ \frac{\partial}{\partial y}(2x + 4y^2) = 8y \] \[ \frac{\partial}{\partial x}(8xy + 3y^3 + 1) = 8y \]

Таким образом, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Теперь найдем его решение.

Интегрируем коэффициент при \(dx\) по \(x\) и коэффициент при \(dy\) по \(y\):

\[ \int (2x + 4y^2)dx = x^2 + 4xy^2 + C_1(y) \] \[ \int (8xy + 3y^3 + 1)dy = 4x^2y + \frac{3}{4}y^4 + y + C_2(x) \]

где \(C_1(y)\) и \(C_2(x)\) - произвольные функции от \(y\) и \(x\) соответственно.

Теперь приравниваем результаты интегрирования и добавим константу интегрирования:

\[ x^2 + 4xy^2 + C_1(y) = 4x^2y + \frac{3}{4}y^4 + y + C_2(x) + C \]

где \(C\) - константа интегрирования.

Это уравнение содержит две произвольные функции: \(C_1(y)\) и \(C_2(x)\), и, следовательно, не имеет однозначного решения до тех пор, пока не заданы начальные условия или дополнительные ограничения. Если у вас есть дополнительные условия, пожалуйста, уточните их, чтобы мы могли найти конкретное решение.