Question

На сторонах BC, CD, DA и AB квадрата ABCD даны соответственно точки P, Q, R и S. Известно, что BP:PC=CQ:QD=DR:RA=AS:SB=k. а)Докажите, что четырехугольник PQRS-квадрат б) вычислить PQ, если AB= a ,k=3.

Answer 1

А)Так как BP:PC=CQ:QD=DR:RA=AS:SB=k значит BP=PC=CQ=QD=DR=RA=AS=SB.
угол А=В=С=D=90 градусов
треугольники DQR,RАS,SBP,PCQ- равны по 1 признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что SP=PQ=QR=RS,PQRS-квадрат по определению.
б)CQ=k=3.  рассмотрим один из треугольников, например PCQ
так как у треугольника стороны равны он равнобедренный, а значит равны и углы при основании. значит угол QPC=PQC=(180-90):2=30 градусов. против угла в тридцать градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Значит PQ =6 . 

Answer 2

Для доказательства, что четырехугольник PQRS является квадратом, нужно показать, что его стороны равны и углы прямые.

Из условия известно, что BP:PC = CQ:QD = DR:RA = AS:SB = k. Поэтому можно представить отношение BP:PC как kx:(1-x), где x - некоторое число от 0 до 1. Аналогично, можно представить отношение CQ:QD как ky:(1-y), отношение DR:RA как kz:(1-z) и отношение AS:SB как kw:(1-w).

Так как стороны квадрата ABCD равны, то BP + PC = CQ + QD = DR + RA = AS + SB = a. Заметим, что BP + PC = a, поэтому kx + (1-x) = a, откуда x = a/(k+1). Аналогично, можно найти значения y, z и w.

Теперь посмотрим на стороны PQ и RS. По построению, PQ = BP + PC = a. Аналогично, можно показать, что RS = DR + RA = a. Таким образом, стороны PQ и RS равны и четырехугольник PQRS имеет равные стороны.

Теперь рассмотрим углы четырехугольника PQRS. Угол PQR равен прямому углу, так как BP:PC = CQ:QD. Аналогично, можно показать, что углы QRS, RSP и SPQ также равны прямому углу. Таким образом, углы PQRS являются прямыми.

Мы доказали, что стороны четырехугольника PQRS равны и углы прямые, поэтому он является квадратом.

Теперь вычислим длину стороны PQ, при условии, что AB = a и k = 3.

Мы уже выяснили, что x = a/(k+1) = a/4. Таким образом, BP = kx = 3(a/4) = 3a/4. Из условия, BP + PC = a, следует, что PC = a - BP = a - 3a/4 = a/4.

Теперь можем вычислить длину стороны PQ: PQ = BP + PC = 3a/4 + a/4 = 4a/4 = a.

Таким образом, при AB = a и k = 3, длина стороны PQ равна a.