Question

Число 16 представьте в виде произведения двух положительных множителей, таких, чтобы сумма их квадратов была наименьшей

Answer 1

16=4*4=2*8=16*1
Ищем сумму  квадратов множителей
4²+4²=16+16=32
2²+8²=4+64=68
16²+1²=256+1=257
Ответ: 4, 4

Answer 2

Для представления числа 16 в виде произведения двух положительных множителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, мы можем использовать метод оптимизации или аналитическую геометрию.

Метод оптимизации

Представим произведение двух положительных множителей в виде x * y = 16. Нам нужно минимизировать сумму квадратов этих множителей, то есть найти минимум функции f(x, y) = x^2 + y^2 при условии x * y = 16. Мы можем воспользоваться методом множителей Лагранжа для нахождения экстремума функции при ограничениях.

Составим функцию Лагранжа: L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x * y - 16)

Чтобы найти экстремум функции, найдем ее частные производные по x, y и λ и приравняем их к нулю: ∂L/∂x = 2x + λy = 0 ∂L/∂y = 2y + λx = 0 ∂L/∂λ = xy - 16 = 0

Решая эти уравнения, мы найдем значения x, y и λ, где сумма квадратов множителей достигает минимума.

Аналитическая геометрия

Мы можем представить число 16 как произведение двух положительных множителей в виде прямоугольника. Пусть одна сторона прямоугольника будет x, а другая - y. Тогда площадь этого прямоугольника будет равна xy = 16.

Мы хотим найти такие значения x и y, при которых сумма их квадратов будет наименьшей. Мы знаем, что сумма квадратов двух чисел минимальна, когда эти числа находятся на равном расстоянии от их среднего значения.

Таким образом, чтобы найти минимальное значение суммы квадратов, мы должны выбрать x и y таким образом, чтобы они были равными и равными квадратному корню из 16. То есть x = y = √16 = 4.

Таким образом, число 16 можно представить в виде произведения двух положительных множителей, равных 4 и 4, и сумма их квадратов будет наименьшей.