Question

Известно что x^2+y^2+1/2<= x+yДоказать что x+y=1

Answer 1

X^2-x+1/4+y^2-y+1/4<=0
(x-1/2)^2+(y-1/2)^2<=0
левая часть >= 0 , у неравенства одно решение x=1/2,y=1/2
x+y=1.

Answer 2

Для доказательства того, что x + y = 1, мы можем рассмотреть неравенство x^2 + y^2 + 1/2 ≤ x + y и преобразовать его.

Сначала, вычтем x и y из обеих частей неравенства:

x^2 - x + y^2 - y + 1/2 ≤ 0

Затем, приведем подобные слагаемые:

x^2 - x + 1/4 + y^2 - y + 1/4 ≤ 0

Теперь, сгруппируем квадратные члены и константы:

(x^2 - x + 1/4) + (y^2 - y + 1/4) ≤ 0

Заметим, что (x - 1/2)^2 = x^2 - x + 1/4 и (y - 1/2)^2 = y^2 - y + 1/4. Подставим это в неравенство:

(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 ≤ 0

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то (x - 1/2)^2 ≥ 0 и (y - 1/2)^2 ≥ 0. Следовательно, их сумма также неотрицательна:

(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 ≥ 0

Так как неравенство неотрицательно, то оно может быть равно только нулю:

(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 0

Таким образом, (x - 1/2)^2 = 0 и (y - 1/2)^2 = 0. Это означает, что x - 1/2 = 0 и y - 1/2 = 0, откуда следует, что x = 1/2 и y = 1/2.

Итак, мы получили, что x = 1/2 и y = 1/2, что подтверждает, что x + y = 1.