Question

Найти модуль комплексного числа z=4i^9+3i^-18+2i^23+9

Answer 1

Следует помнить свойства мнимой единицы: i²=-1. В связи с этим можно записать:
z=4*i*i^8 +3/i^18 + 2*i*i^22+9=4i*(i^2)^4 +3/(i^2)^9 + 2i*(i^2)^11 + 9=4i(-1)^4 +3/(-1)^9+2i*(-1)^11+9=[-1 в чётной степени = 1, а в нечётной -1]=4i-3-2i+9=2i+6
Модуль комплексного числа находится по формуле:
a+ib=√(a²+b²)=√(2²+6²)=√(4+36)=√(4*(1+9))=2√10 - это и будет ответ.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно вычислить модуль комплексного числа z=4i^9+3i^-18+2i^23+9.

Для начала, давайте посмотрим на каждое слагаемое отдельно:

1) 4i^9. Для вычисления этого слагаемого, мы можем использовать следующие свойства: i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1. Так как i^4 = 1, мы можем заменить i^9 на (i^4)^2 * i = i^2 * i = -1 * i = -i. Таким образом, 4i^9 = 4 * (-i) = -4i.

2) 3i^-18. Здесь мы можем использовать свойство i^-1 = 1/i. Таким образом, 3i^-18 = 3 * (1/i^18) = 3/i^18. Теперь, чтобы выразить i^18, мы можем использовать свойство i^4 = 1. i^18 = (i^4)^4 * i^2 = 1^4 * i^2 = 1 * (-1) = -1. Значит, 3/i^18 = 3/(-1) = -3.

3) 2i^23. Аналогично предыдущему пункту, мы можем использовать свойство i^4 = 1. i^23 = (i^4)^5 * i^3 = 1^5 * (-i) = -i. Таким образом, 2i^23 = 2 * (-i) = -2i.

Теперь, чтобы найти модуль комплексного числа z, мы должны сложить все полученные слагаемые и вычислить модуль полученной суммы:

z = -4i + (-3) + (-2i) + 9 = -3 - 4i - 2i + 9 = 6 - 6i.

Модуль комплексного числа z = |6 - 6i| = sqrt(6^2 + (-6)^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6 * sqrt(2).

Таким образом, модуль комплексного числа z равен 6 * sqrt(2).

Answer 3

Для нахождения модуля комплексного числа, мы должны вычислить квадратный корень из суммы квадратов его вещественной и мнимой частей.

Данное комплексное число представлено в алгебраической форме z = 4i^9 + 3i^-18 + 2i^23 + 9.

Перед тем, как продолжить, давайте разберемся с экспонентами i в каждом слагаемом:

i^9 = i^8 * i = (i^2)^4 * i = (-1)^4 * i = 1 * i = i

i^-18 = (1/i)^18 = (1/i^2)^9 = (-1)^9 = -1

i^23 = i^22 * i = (i^2)^11 * i = (-1)^11 * i = -1 * i = -i

Теперь мы можем переписать выражение для z:

z = 4i + 3(-1) + 2(-i) + 9

z = 4i - 3 + 2i + 9

z = 6i + 6

Теперь мы можем вычислить модуль z:

|z| = sqrt((Re(z))^2 + (Im(z))^2)

где Re(z) - вещественная часть числа z, а Im(z) - мнимая часть числа z.

Re(z) = 6, Im(z) = 6

|z| = sqrt((6)^2 + (6)^2)

|z| = sqrt(36 + 36)

|z| = sqrt(72)

|z| = 6sqrt(2)

Таким образом, модуль комплексного числа z = 6sqrt(2).